TIÊU CHUẨN QUỐC GIA TCVN 4551:2009 VỀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI
TCVN 4551 : 2009
THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI
Applied statistics – Analysis of variances
Lời nói đầu
TCVN 4551 : 2009 thay thế cho TCVN 4551-1988;
TCVN 4551 : 2009 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN/TC 69 Ứng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố.
THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI
Applied statistics – Analysis of variances
1. Phạm vi áp dụng
Tiêu chuẩn này quy định các mô hình và phương pháp phân tích phương sai một nhân tố và hai nhân tố, các phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết thống kê và kết luận thống kê về sự thuần nhất của sản phẩm nhằm phân loại các sản phẩm không thuần nhất.
2. Khái niệm chung
2.1. Phân tích phương sai là một tập hợp các phương pháp thống kê nhằm kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các giá trị trung bình của một đại lượng nào đó trên cơ sở so sánh các giá trị trung bình của nó trong k mẫu ngẫu nhiên độc lập rút từ k tổng thể.
2.2. Đặc trưng cơ bản của phân tích phương sai là: k tổng thể chịu tác động bởi nhân tố A, ở tổng thể thứ j (j = 1, 2, … k) A nhận giá trị không đổi Aj.
2.2.1. Giá trị Aj được gọi là mức của nhân tố A và thường là giá trị định tính.
Số mức khác nhau của nhân tố A là hữu hạn.
Hai tổng thể khác nhau ứng với hai mức khác nhau của nhân tố A.
2.2.2. Nhân tố A có thể là đơn (một chiều) hay bội (nhiều chiều) dưới dạng tổ hợp của một số nhân tố đơn, tức là A = B x C x … x G. Tùy theo số chiều của nhân tố mà ta có phân tích phương sai một nhân tố, hai nhân tố, ba nhân tố…
Hai nhân tố A và B là có tương tác (ký hiệu A x B) nếu như trong bố trí thí nghiệm có mọi tổ hợp có thể có của các mức của hai nhân tố.
Tiêu chuẩn này chỉ đề cập đến mô hình phân tích phương sai một nhân tố hay hai nhân tố có tương tác.
2.3. Đại lượng Y đo được trong các mẫu rút từ các tổng thể là biến ngẫu nhiên một chiều, các giá trị quan trắc về đại lượng Y được đo với cùng một độ chính xác.
2.4. Các số liệu để tiến hành phân tích phương sai được biểu diễn dưới dạng Bảng 1.
Bảng 1
|
Mức của nhân tố |
A1 |
A2 … |
Ai … |
Ak |
| Giá trị của Y trong k mẫu |
Y11 |
Y21 |
Yi1 |
Yk1 |
|
Y12 |
Y22 |
Yi2 |
Yk2 |
|
|
Y1j |
Y2j |
Yij |
Ykj |
|
|
|
|
|
|
trong đó: k là số các tổng thể;
n1, n2,… nk là các cỡ mẫu tương ứng rút từ tổng thể thứ 1, 2,… k,
Yij là giá trị đo được thứ j của Y trong mẫu rút từ tổng thể thứ i.
2.5. Các giá trị Yi1, Yi2, … 
trong mỗi một cột ứng với một mẫu và là độc lập với nhau (i = 1, 2, …., k).
2.6. Các phương pháp xử lý số liệu trong Bảng 1 phụ thuộc vào phân bố của Y.
2.6.1. Các phương pháp phân tích phương sai tham số (xem Điều 3) đòi hỏi giả thuyết Y có phân bố chuẩn.
2.6.2. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số (xem Điều 4) không đòi hỏi giả thuyết Yi1, Yi2, … có phân bố chuẩn.
2.7. Giả thuyết “không” H0 phải kiểm nghiệm trong phân tích phương sai có dạng sau:
H0 : E(Y1) = E (Y2) = … = E (Yk) (1)
Giả thuyết này có nghĩa là các mức Aj của nhân tố A không có ảnh hưởng gì đến các giá trị trung bình trong các tổng thể riêng biệt, nói khác đi các giá trị trung bình đó bằng nhau.
H1 là đối thuyết của H0 nếu H1 đúng thì nhân tố A có ảnh hưởng đến Y.
Khi bác bỏ H0, phải tiến hành thêm phân tích phụ nhằm phát hiện ảnh hưởng của nhân tố A đến các giá trị của Y.
2.8. Phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết H0 còn phụ thuộc vào sự bằng nhau của các phương sai. Trước khi kiểm nghiệm H0, phải kiểm nghiệm giả thuyết phụ H0‘ về sự bằng nhau của phương sai:
H0‘: D (Y1) = D (Y2) = … = D (Yk) (2)
Đối thuyết:
H1‘ : |D(Yi) – D (Yj)| > 0
2.9. Sơ đồ chung phân tích phương sai và ví dụ minh họa được cho trong Phụ lục A và Phụ lục B tương ứng.
3. Phương pháp phân tích phương sai tham số
3.1. Phân tích phương sai một nhân tố
3.1.1. Mô hình phân tích phương sai một nhân tố
Nhân tố A có k mức A1, A2, … Ak tương ứng với k tổng thể. Mô hình có dạng sau:
Yij = m + ai + eij (3)
trong đó: m là giá trị trung bình chung của Y;
ai là hiệu quả của mức Ai đối với Y;
eij là sai số ngẫu nhiên ứng với giá trị quan trắc;
Yij với i = 1 … k; j = 1…. ni.
3.1.1.1. Điều kiện áp dụng của mô hình: các eij là độc lập, có phân bố chuẩn với trung bình bằng 0.
3.1.1.2. Phát biểu giả thuyết:
Giả thuyết có dạng:
H0 : a1 = a2 = … = ak = 0 (4)
tức là các mức của A không có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.
Đối thuyết:
H1: không phải tất cả các a1, a2, …, ak bằng 0 (5)
tức là các mức của nhân tố A có ảnh hưởng đến các trung bình của Y.
3.1.2. Các bước tiến hành khi phân tích phương sai một nhân tố
3.1.2.1. Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai
3.1.2.1.1. Dùng quy tắc Bartlett nếu k > 2
1) Tính các giá trị
i = 1, 2, …, k (6)
2) Đặt
(7)
3) Tính các giá trị
(8)
(9)
4) Tính thống kê
(10)
trong đó
(11)
5) Chọn mức ý nghĩa a (thường lấy a = 0,05 hay a = 0,01). Sau đó xác định phân vị 
của phân bố c2 với k – 1 bậc tự do.
6) So sánh giá trị c2 tính được với giá trị tra bảng. Nếu:
chuyển sang 3.1.2.2.1
chuyển sang 3.1.2.2.2
3.1.2.1.2. Nếu k = 2, dùng quy tắc Fisher để so sánh hai phương sai. Nếu hai phương sai bằng nhau, có thể dùng quy tắc Student để so sánh hai giá trị trung bình.
3.1.2.2. Kiểm nghiệm các giả thuyết H0
3.1.2.2.1. Trường hợp các phương sai bằng nhau
Sau khi đã khẳng định giả thuyết H0‘ về sự bằng nhau của các phương sai, việc kiểm nghiệm giả thuyết H0 được tiến hành như sau:
1) Tính tổng và trung bình ứng với từng tổng thể:
với i = 1, 2, …, k
(12)
Sau đó tính tổng chung và trung bình chung:
Y.. = Y1.+Y2.+…+Yk. (13)
2) Tính các tổng bình phương sau:
Tính tổng bình phương giữa các mức:
(14)
Tổng bình phương dư (sai số):
SSdư = 
(15)
Tổng bình phương chung:
(16)
Để kiểm tra, có thể dùng hệ thức sau:
SSdư = SS – SSA
3) Các kết quả được viết dưới dạng bảng phân tích phương sai sau:
Bảng 2
|
Nguồn biến động |
Tổng bình phương |
Bậc tự do |
Trung bình bình phương |
Tỷ số F |
| Nhân tố |
SSA |
n1 = k – 1 |
|
|
| Sai số |
SSdư |
n2 = n – k |
|
|
| Tổng chung |
SS |
n – 1 |
– |
– |
4) Chọn mức ý nghĩa a và xác định phân vị F1–a (n1, n2) của phân bố F với n1 và n2 bậc tự do theo Bảng 5.
5) So sánh giá trị F tính được nhờ Bảng 2 với giá trị tra bảng F1–a (n1, n2).
Nếu F ≤ F1–a (n1, n2) thì chấp nhận H0.
Nếu F > F1–a (n1, n2) thì bác bỏ H0. Điều này có nghĩa là nhân tố A thực dư có ảnh hưởng đến Y. Tiếp tục dùng các phương pháp so sánh đồng thời (xem 3.3) để tách ra những tổng thể thuần nhất.
3.1.2.2.2. Trường hợp các phương sai không bằng nhau:
Phương pháp Welch
Nếu các phương sai không bằng nhau, giả thuyết H0 được kiểm nghiệm như sau:
1) Tính:
với i, j = 1, 2, … k (18)
với i = 1, 2, … k (19)
và các đại lượng trung gian sau:
(20)
(21)
(22)
2) Tính thống kê Welch:
(23)
3) Tính biểu thức:
(24)
4) Đặt:
F = 
, n1 = k-1, n1 = [¦] – 1 (25)
trong đó: [¦] là phần nguyên của ¦.
5) Với F, n1, và n2 tính được, thực hiện tiếp các bước 4 và 5 của trường hợp các phương sai bằng nhau (3.1.2.2.1).
3.2. Phân tích phương sai hai nhân tố
3.2.1. Cách trình bày số liệu
Nhân tố A x B là bội (xem 2.2.2) gồm hai nhân tố đơn A và B.
A có k mức là A1, A2,… Ak
B có m mức là B1, B2, … Bm
n giá trị của Y ứng với mức (Ai, Bj) được ký hiệu là Yij1, Yij2, …. Yijn.
Các giá trị của Y để tiến hành phân tích phương sai được trình bày trong Bảng 3.
Bảng 3
|
Các mức của nhân tố A |
Các mức của nhân tố B |
|||
|
B1 |
B2 |
… |
Bm |
|
|
A1 |
Y111, Y112, Y11n |
Y121, Y122, Y12n |
… |
Y1m1, Y1m2, Y1mn |
|
A2 |
Y211, Y212, Y21n |
Y221, Y222, Y22n |
… |
Y2m1, Y2m2, Y2mn |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
Ak |
Yk11, Yk12, Yk1n |
Yk21, Yk22, Yk2n |
… |
Ykm1, Ykm2, Ykmn |
3.2.2. Mọi ô của Bảng 3 được giả thuyết cùng có một số quan trắc đo được với cùng độ chính xác.
3.2.3. Mô hình phân tích phương sai hai nhân tố
3.2.3.1. Mô hình có dạng sau:
Yijℓ = m + a1 + bj + (ab)ij + eijℓ (26)
với i = 1, 2,… k; j = 1, 2,… m; ℓ = 1, 2,… n
trong đó:
m – trung bình chung của đại lượng Y
ai – hiệu quả của mức Ai của nhân tố A đối với các giá trị của Y
bi – hiệu quả của mức Bj của nhân tố B đối với các giá trị của Y
(ab)ij – hiệu quả hỗn hợp của mức (Ai, Bj) đối với các giá trị của Y
eijℓ – sai số ngẫu nhiên của quan sát Yijℓ
3.2.3.2. Các điều kiện áp dụng
1) Các eijℓ là độc lập, có phân bố chuẩn với trung bình 0 và phương sai như nhau.
2) Các nhân tố A và B có thể có hiệu quả âm hoặc dương đối với Y nhưng phải thỏa mãn hệ thức:
=0
với mọi i
với mọi j
3.2.3.3. Phát biểu giả thuyết
Các giả thuyết được xem xét theo thứ tự sau:
1) Kiểm nghiệm sự tương tác giữa các nhân tố A và B
H0,AxB : (ab)ij = 0 với mọi i = 1, 2,…. k và j = 1, 2 ….., m
H1,AxB: không phải mọi (ab)ij = 0
2) Nếu giả thuyết H0,AxB đúng tức là không có sự tương tác giữa A và B, cần kiểm nghiệm
a) Ảnh hưởng của nhân tố A đến các giá trị của Y. Cụ thể:
H0,A: a1 = a2 = … = ak = 0
tức là các mức của A không ảnh hưởng đến các giá trị của Y.
H1,A: không phải tất cả các a1, a2, …, ak bằng 0
b) Ảnh hưởng của nhân tố B đến các giá trị của Y:
H0,B: b1 = b2 = … = bm = 0
tức là các mức của B không ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.
H1,B: không phải tất cả các b1, b2, …., bk đều bằng 0
3.2.4. Các bước tiến hành khi phân tích phương sai hai nhân tố
3.2.4.1. Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai của Y ứng với mọi tổng thể nhờ quy tắc Bartlett
– Đánh số lại các mẫu trong Bảng 3 bằng chỉ số i = 1, 2,… K = k x m theo thứ tự từ trái sang phải và từ trên xuống.
– Bên trong từng mẫu, đánh số các quan sát theo hai chỉ số Yij, trong đó j = 1, 2,… n.
– Áp dụng quy tắc Bartlett (3.1.2.1.1) cho các mẫu vừa được thành lập, trong đó ni = n với mọi i = 1, 2, … K.
– Nếu giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai được chấp nhận thì chuyển sang 3.2.4.2.
– Nếu bác bỏ giả thuyết trên thì chuyển sang 3.2.4.3.
3.2.4.2. Kiểm nghiệm điều kiện ứng dụng
1) Tính các tổng:
với mọi i = 1, 2 …, k; j = 1, 2 …., m (27)
với mọi i = 1, 2 …, k (28)
với mọi j = 1, 2, …, m (29)
Tổng chung
(30)
2) Tính các tổng bình phương:
N = kmn (31)
(32)
(33)
(34)
SSdư = 
(35)
(36)
3) Tính các trung bình bình phương
MSdư = 
SSdư (37)
4) Tính các tỷ số F:
(38)
5) Viết các đại lượng vừa tính thành bảng phân tích phương sai hai nhân tố như sau:
Bảng 4
|
Nguồn biến động |
Tổng bình phương |
Bậc tự do |
Trung bình bình phương |
Tỷ số F |
| Nhân tố A |
SSA |
k – 1 |
MSA |
FA |
| Nhân tố B |
SSB |
m – 1 |
MSB |
FB |
| Tương tác A x B |
SSAXB |
(k – 1)(m – 1) |
MSAXB |
FAXB |
| Sai số |
SSdư |
N – km |
MSdư |
– |
| Tổng cộng |
SS |
N – 1 |
– |
– |
3.2.4.2.1. Kiểm nghiệm giả thuyết H0,AXB
1) Chọn mức ý nghĩa a. Đặt n1 = (k – 1)(m – 1), n2 = N – km và tra Bảng 5 để tìm phân vị F1-a(n1, n2).
2) So sánh tỷ số FAXB tính được với giá trị F1–a(n1, n2)
– Nếu FAxB < F1 – a(n1, n2) thì chấp nhận giả thuyết H0,AxB, sau đó kiểm định giả thuyết H0,A và H0,B (xem 3.2.4.2.2 và 3.2.4.2.3).
– Nếu FAxB > F1 – a(n1, n2) thì bác bỏ H0,AxB và kết luận là các tổ hợp của nhân tố AxB có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.
với i = 1, 2, …, k; j = 1, 2, …, m
Tiếp đó chuyển sang so sánh đồng thời (xem 3.3) để tách ra những nhóm tổng thể thuần nhất.
3.2.4.2.2. Kiểm nghiệm giả thuyết H0,A
1) Đặt n1 = k – 1, n2 = N – km và xác định phân vị F1-a(n1, n2) theo Bảng 5 với mức ý nghĩa a.
2) So sánh trị số FA tính được với giá trị tra bảng F1-a(n1, n2)
– Nếu FA ≤ F1-a(n1, n2): chấp nhận giả thuyết H0,A theo 3.2.3.3.2.
– Nếu FA > F1-a(n1, n2): bác bỏ H0,A và suy ra kết luận các mức của nhân tố A là có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.
với i = 1, 2, … k
Để tách các mẫu thuần nhất theo Y, ta phải thực hiện so sánh đồng thời (3.3).
3.2.4.2.3. Kiểm nghiệm giả thuyết H0,B
1) Đặt n1 = m – 1, n2 = N – km và tra Bảng 5 để tìm phân vị F1-a(n1, n2) ứng với mức ý nghĩa a.
2) So sánh FB tính được với giá trị tra bảng F1-a(n1, n2)
– Nếu FB ≤ F1-a(n1, n2) ta chấp nhận H0,B nhờ 3.2.3.3.3.
– Nếu FB > F1-a(n1, n2) ta bác bỏ H0,B và kết luận các mức của nhân tố B có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.
với j = 1, 2, … m
Để phát hiện các mẫu thuần nhất theo Y cần phải thực hiện phép so sánh đồng thời (3.3).
3.2.4.3. Nếu giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai bị bác bỏ, phân tích phương sai hai nhân tố được chuyển thành phép phân tích phương sai một nhân tố với các phương sai không bằng nhau (3.1.2.2.2) với số mức K = kmn.
3.3. So sánh đồng thời
3.3.1. Trường hợp các phương sai bằng nhau
Phương pháp Student – Newman – Keuls
Cần thực hiện các bước như sau:
1) Sắp xếp các trung bình mẫu 
, theo thứ tự tăng dần và đánh số lại các tổng thể theo chỉ số của dãy mới thu được:
Ở đây:
cho trường hợp phân tích một nhân tố (ℓ = 1, 2, …, k);
cho trường hợp phân tích hai nhân tố có tương tác (ℓ = 1, 2, …, K = k x m);
cho trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố A (ℓ = 1, 2, …, K = k);
cho trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố B (ℓ = 1, 2, …., K = m).
2) Tính đại lượng:
(39)
trong đó:
(40)
với nℓ là số quan sát trong nhóm thứ ℓ
Ở đây:
nℓ = ni trong trường hợp phân tích một nhân tố;
nℓ = n trong trường hợp phân tích hai nhân tố có tương tác;
nℓ = n x m trong trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố A;
nℓ = k x n trong trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố B.
3) Với mức ý nghĩa a (thường a = 0,1; a = 0,05; a = 0,01), tra Bảng 6 để tìm R (a,n3,n4) phân vị trên của phân bố của độ rộng đã được Student hóa trong đó n3 = 2, 3, …, k; n4 là số bậc tự do của tổng các bình phương dư.
Đặt M = K
4) Tính giá trị của thống kê:
(41)
với i = 1, 2, …., M – 1.
5) So sánh giá trị SR(M,i) với giá trị tới hạn R (a, M – i + 1, n4) với i = 1, 2, …, M – 1.
Giả sử:
IM = max {i, SR(M,i) ≥ R(a, M – i + 1, n4)} (42)
tức IM là chỉ số i lớn nhất sao cho thống kê SR(M,i) vượt qua phân vị R (a, M – i + 1, n4).
Các tổng thể còn lại với các chỉ số lớn hơn IM cho ta:
SR(M,i) < R(a, M – i + 1, n4) (43)
i = IM + 1, IM + 2, …, M
Từ đó suy ra trên các tổng thể với các chỉ số IM + 1, IM + 2, …, M giá trị trung bình của Y không khác nhau.
6) Sau khi tách các tổng thể thuần nhất IM + 1, IM + 2, …, M thành một nhóm, đặt M = IM và tiếp tục tìm các nhóm tổng thể thuần nhất bằng cách lặp lại bước 4 và 5 của 3.3.1 cho những tổng thể còn lại 1, 2, … IM cho đến khi phát hiện đầy đủ tất cả các nhóm thuần nhất.
CHÚ THÍCH: Quy tắc này được thực hiện với các nhóm tổng thể thuần nhất và rời nhau.
3.3.2. Trường hợp phương sai không bằng nhau
Quy tắc Dunnett so sánh 
các cặp trung bình có thể có:
1) Chọn mức ý nghĩa a (a = 0,10; a = 0,05 hay a = 0,01). Tra Bảng 6 với i = 1, 2 …, k để tìm phân vị trên R (a, k, ni – 1).
2) Với mọi cặp i j, tính:
(44)
trong đó 
, 
được tính bằng công thức (19).
3) Xác định các giới hạn:
; 
đó là giới hạn tin cậy của hiệu ai – aj.
4) Nếu gij < 0 và 
> 0 thì kết luận nhóm có chỉ số i không khác nhóm có chỉ số j. Xét tiếp cặp chỉ số mới (i, j) và lặp lại mọi thủ tục như đối với cặp (i, j).
CHÚ THÍCH: Quy tắc trên được thực hiện với các nhóm tổng thể thuần nhất và rời nhau.
4. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số
4.1. Phạm vi ứng dụng
Nếu giả thuyết phân bố chuẩn của Y không được thỏa mãn (xem 2.6) thì phải dùng các phương pháp của mục này. Mô hình được giả thuyết là một nhân tố. Với mô hình nhiều nhân tố cần được đưa về mô hình một nhân tố như đã chỉ ra trong 3.2.2.2. Các số liệu cũng được biểu diễn dưới dạng Bảng 1. Mọi ký hiệu vẫn được giữ nguyên.
4.2. Mô hình một nhân tố
Như trong 3.1.1
4.2.1. Điều kiện áp dụng
Mọi eij là độc lập và được lấy ra từ cùng một tổng thể.
4.2.2. Phát biểu giả thuyết
Như trong 3.1.1.2.
4.2.3. Các bước tiến hành
4.2.3.1. Kiểm tra sự bằng nhau giữa các phương sai của đại lượng Y theo mọi mẫu nhờ quy tắc Brown – Forsythe
1) Sắp xếp các quan sát Yi1, Yi2, …, theo thứ tự tăng:
(46)
Tính trung vị mẫu:
nếu ni chẵn (47a)
nếu ni lẻ (47b)
2) Tính giá trị tuyệt đối của các hiệu số:
với mọi i = 1, …, k; j = 1, …, ni (48)
3) Tính các trung bình:
i = 1, 2, …, k (49)
(50)
trong đó: 
4) Tính giá trị của thống kê Brovvn – Forsythe:
(51)
5) Đặt n1 = k – 1, n2 = N – k. Với mức ý nghĩa a, tra bảng để tìm điểm phân vị F1-a (n1, n2) của phân bố F.
6) So sánh giá trị W0 vừa tính với F1-a (n1, n2).
– Nếu W0 ≤ F1-a (n1, n2) ta chấp nhận giả thuyết về tính thuần nhất của eij và chuyển sang 4.2.3.2.
– Nếu W0 > F1-a (n1, n2) ta kết luận điều kiện áp dụng của 4.2.1 không được thỏa mãn.
4.2.3.2. Quy tắc Kruskal – Wallis để kiểm nghiệm giả thuyết cơ bản
1) Sắp xếp tất cả quan sát (Bảng 1) theo thứ tự tăng dần:
Y(1) ≤ Y(2) ≤ … ≤ Y(N) (52)
Nếu có hai (hay nhiều) quan sát có giá trị trùng nhau thì gán cho chúng cùng một hạng bằng tổng các chỉ số đó chia cho các quan sát trùng nhau. Ví dụ nếu Y(7) = Y(8) = Y(9) thì chúng đều được gán hạng 
2) Ký hiệu rij là hạng của quan sát Yij trong cách sắp xếp hạng trên.
3) Với i = 1, 2, …, k, đặt:
; 
(53)
4) Tính thống kê:
(54a)
nếu các quan sát không trùng nhau, hoặc thống kê:
(54b)
nếu có các quan sát trùng nhau.
trong đó: g – số nhóm các quan sát trùng nhau;
tj – số các hạng giống nhau trong nhóm thứ j.
5) Chọn mức ý nghĩa a (a = 0,1; 0,05 hay 0,01)
– Nếu k = 3 (có 3 tổng thể cần so sánh) và với cỡ mẫu nhỏ (mỗi một trong các số n1, n2, n3 không vượt quá 5). Ta dùng Bảng 7 để xác định phân vị ha,k (n1, n2, n3).
Đặt h2 = ha, k (n1, n2, n3) và chuyển sang 6).
CHÚ THÍCH: Bảng 7 cho các giá trị tới hạn ha, n (n1, n2, n3) cho trường hợp n1 ≤ n2 ≤ n3. Nếu thứ tự này không được thực hiện, cần phải đánh số lại các mẫu sao cho n1 ≤ n2 ≤ n3. Việc đánh số lại các mẫu không ảnh hưởng đến h.
– Nếu cỡ mẫu lớn, tra phân vị của phân bố c2 với k – 1 bậc tự do. Đặt 
6) So sánh giá trị tính được h (hay h’) với giá trị tới hạn ha.
– Nếu h ≤ ha. chấp nhận giả thuyết H0 về sự không sai khác giữa các tổng thể.
– Nếu h > ha: bác bỏ H0 và suy ra kết luận các mức của nhân tố A có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.
4.3. So sánh đồng thời
Các bước cụ thể như sau:
– Sắp xếp các giá trị Ri theo thứ tự tăng dần:
R(1) ≤ R(2) ≤ … ≤ R(k) (55)
và đánh số lại các tổng thể theo thứ tự hạng của chúng.
– Nếu mọi cỡ mẫu bằng nhau, tức là n1 = n2 = … = nk = n thì chuyển sang 4.3.1. Trường hợp ngược lại chuyển sang 4.3.2.
4.3.1. Trường hợp các cỡ mẫu bằng nhau
4.3.1.1. Quy tắc Kruskal – Wallis (khi cỡ mẫu nhỏ)
1) Chọn mức ý nghĩa a. Với k, n và a, tra Bảng 8 để tìm giá trị tới hạn y (a, k, n). Đặt M = k.
2) So sánh hiệu số
R(M) – R(i) (i = 1, 2, …, M – 1) với giá trị tới hạn y (a, k, n).
Giả sử:
IM = max {i : R(M) – R(i) ≥ y (a, k, n)} (56)
IM bằng chỉ số của tổng thể sao cho với các tổng thể tiếp sau đó thực hiện bất đẳng thức:
i = 1, 2, …, M – IM (57)
Từ đó suy ra rằng: Các tổng thể với các chỉ số IM + 1, IM + 2, …, M là không khác nhau và các giá trị của các mức của A không có ảnh hưởng gì đến giá trị trung bình của Y.
3) Sau khi tách nhóm các tổng thể thuần nhất IM + 1, IM + 2, …, M, tiếp tục so sánh các hiệu 
, i = 1, 2, …, IM – 1 với giá trị tới hạn y (a, k, n). Đặt M = IM và chuyển sang thuật toán ở 2) cho đến khi phát hiện đầy đủ mọi nhóm các tổng thể thuần nhất.
4.3.1.2. Quy tắc tiệm cận (trường hợp các mẫu lớn)
Nếu cỡ mẫu vượt ra khỏi giới hạn của Bảng 8 thì phải dùng phương pháp tiệm cận.
1) Với mức ý nghĩa a đã chọn và với số nhóm k, cần tính qa (k) nhờ Bảng 9.
2) Xác định giá trị tới hạn:
(58)
3) Tiếp tục các bước 2 và 3 giống như trường hợp 4.3.1.1.
4.3.2. Trường hợp cỡ mẫu không bằng nhau
Các bước tiến hành
– Tính hạng trung bình 
– Sắp xếp các hạng trung bình Ri. theo thứ tự tăng dần:
R(1.) ≤ R(2.) ≤ … ≤ R(k.) (59)
và đánh số lại các tổng thể theo thứ tự đã sắp xếp của hạng trung bình.
4.3.2.1. Trường hợp cỡ mẫu nhỏ:
1) Cho trước mức ý nghĩa a, k và các cỡ mẫu (n1, n2, n3) tra Bảng 7 để tìm phân vị ha, k (n1, n2, n3).
2) Chọn M = k và tính giá trị tới hạn
(60)
với mọi i = 1, 2, …, M.
3) So sánh hiệu số R(M.) – R(i.) với các giá trị tới hạn YM,i với mọi i = 1, 2, …, M – 1. Giả sử:
IM = max {i: R(M.) – R(i.) ≥ YM,i} (61)
IM là chỉ số của tổng thể sao cho với các tổng thể tiếp đó bắt đầu thực hiện các bất đẳng thức ngược:
(i = 1, 2, …, M – IM) (62)
Từ đó suy ra, các tổng thể với các chỉ số IM + 1, IM + 2, …, M là không khác nhau theo Y.
4) Sau khi tách nhóm những tổng thể không khác nhau với các chỉ số IM+1, IM+2, …, M, đặt M = lM rồi tiếp tục các bước 2) và 3) của điều này cho các tổng thể còn lại cho đến khi tách được hoàn toàn các nhóm gồm tổng thể thuần nhất theo Y.
4.3.2.2. Trường hợp các mẫu lớn
Đối với những trường hợp không gặp trong Bảng 7 và các ni > 5, cần dùng những phương pháp tiệm cận.
1) Với mức ý nghĩa a đã chọn, tính 
Dùng Bảng 10 để tra phân vị Up của phân bố chuẩn. Đặt M = k.
2) Tính giá trị tới hạn:
(63)
với mọi i = 1, 2, …, M.
3) Tiếp tục các bước 3 và 4 của trường hợp 4.3.2.1. Sau khi tách các nhóm tổng thể không khác biệt, việc so sánh tiếp theo được đưa vào giá trị tới hạn cho bởi công thức (63) (xem các chú thích trong 3.3.1 và 3.3.2).
Bảng 5 – Phân vị của phân bố F
P {F > F1–a (n1, n2)} = a
1) a = 0,05; 1 – a = 0,95
|
n2 |
n1 |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
1 |
161 |
200 |
216 |
225 |
230 |
234 |
237 |
239 |
241 |
242 |
|
2 |
18,5 |
19,0 |
19,2 |
19,2 |
1,93 |
19,3 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
|
3 |
10,1 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
9,01 |
8,94 |
8,89 |
8,85 |
8,81 |
8,79 |
|
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,09 |
6,04 |
6,00 |
5,96 |
|
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
5,19 |
5,05 |
4,95 |
4,88 |
4,82 |
4,77 |
4,74 |
|
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,39 |
4,28 |
4,21 |
4,15 |
4,10 |
4,06 |
|
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
4,12 |
3,97 |
3,87 |
3,79 |
3,73 |
3,68 |
3,64 |
|
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,50 |
3,44 |
3,39 |
3,35 |
|
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
3,23 |
3,18 |
3,14 |
|
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,22 |
3,14 |
3,07 |
3,02 |
2,98 |
|
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
3,36 |
3,20 |
3,09 |
3,01 |
2,95 |
2,90 |
2,85 |
|
12 |
4,75 |
3,89 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,91 |
2,85 |
2,80 |
2,75 |
|
13 |
4,67 |
3,81 |
3,41 |
3,18 |
3,03 |
2,92 |
2,83 |
2,77 |
2,71 |
2,67 |
|
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,76 |
2,70 |
2,65 |
2,60 |
|
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,79 |
2,71 |
2,64 |
2,59 |
2,54 |
|
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,85 |
2,74 |
2,66 |
2,59 |
2,54 |
2,49 |
|
17 |
4,45 |
3,59 |
3,20 |
2,96 |
2,81 |
2,70 |
2,61 |
2,55 |
2,49 |
2,45 |
|
18 |
4,41 |
3,55 |
3,16 |
293 |
2,77 |
2,66 |
2,58 |
2,51 |
2,46 |
2,41 |
|
19 |
4,38 |
3,52 |
313 |
2,90 |
2,74 |
2,63 |
2,54 |
2,48 |
2,42 |
2,38 |
|
20 |
4,35 |
3,49 |
310 |
2,87 |
2,71 |
2,60 |
2,51 |
2,45 |
2,39 |
2,35 |
|
21 |
4,32 |
3,47 |
3,07 |
2,84 |
2,68 |
2,57 |
2,49 |
2,42 |
2,37 |
2,32 |
|
22 |
4,30 |
3,44 |
3,05 |
2,82 |
2,66 |
2,55 |
2,46 |
2,40 |
2,34 |
2,30 |
|
23 |
4,28 |
3,42 |
3,03 |
2,80 |
2,64 |
2,53 |
2,46 |
2,37 |
2,32 |
2,27 |
|
24 |
4,26 |
3,40 |
3,01 |
2,78 |
2,62 |
2,51 |
2,42 |
2,36 |
2,30 |
2,25 |
|
25 |
4,24 |
3,39 |
2,99 |
2,76 |
2,60 |
2,49 |
2,40 |
2,34 |
2,28 |
2,24 |
|
26 |
4,23 |
3,37 |
2,98 |
2,74 |
2,59 |
2,47 |
2,39 |
2,32 |
2,27 |
2,22 |
|
27 |
4,21 |
3,35 |
2,96 |
2,73 |
2,57 |
2,46 |
2,37 |
2,31 |
2,25 |
2,20 |
|
28 |
4,20 |
3,34 |
2,95 |
2,71 |
2,56 |
2,45 |
2,36 |
2,29 |
2,24 |
2,19 |
|
29 |
4,18 |
3,33 |
2,93 |
2,70 |
2,55 |
2,43 |
2,35 |
2,28 |
2,22 |
2,18 |
|
30 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
2,69 |
2,53 |
2,42 |
2,33 |
2,27 |
2,21 |
2,16 |
|
34 |
4,13 |
3,28 |
2,88 |
2,65 |
2,49 |
2,38 |
2,29 |
2,23 |
2,17 |
2,12 |
|
40 |
4,08 |
3,23 |
2,84 |
2,61 |
2,45 |
2,34 |
2,25 |
2,18 |
2,12 |
2,08 |
|
50 |
4,03 |
3,18 |
2,79 |
2,56 |
2,40 |
2,29 |
2,20 |
2,13 |
2,07 |
2,03 |
|
70 |
3,98 |
3,13 |
2,74 |
2,50 |
2,35 |
2,23 |
2,14 |
2,07 |
2,02 |
1,97 |
|
100 |
3,94 |
3,09 |
2,70 |
2,46 |
2,31 |
2,19 |
2,10 |
2,03 |
1,97 |
1,93 |
|
200 |
3,89 |
3,04 |
2,65 |
2,42 |
2,26 |
2,14 |
2,06 |
1,98 |
1,93 |
1,88 |
|
500 |
3,86 |
3,01 |
2,62 |
2,39 |
2,23 |
2,12 |
2,03 |
1,96 |
1,90 |
1,85 |
|
¥ |
3,84 |
3,00 |
2,60 |
2,37 |
2,21 |
2,10 |
2,01 |
1,94 |
1,88 |
1,83 |
Bảng 5 (tiếp theo)
1) a = 0,05; 1 – a = 0,95
|
n2 |
n1 |
||||||||||
|
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
24 |
30 |
40 |
60 |
100 |
¥ |
|
|
1 |
244 |
245 |
246 |
247 |
248 |
249 |
250 |
251 |
252 |
253 |
254 |
|
2 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
19,4 |
19,5 |
19,5 |
19,5 |
19,5 |
19,5 |
19,5 |
|
3 |
8,74 |
8,71 |
8,69 |
8,67 |
8,66 |
8,64 |
8,62 |
8,59 |
8,57 |
8,55 |
8,53 |
|
4 |
5,91 |
5,87 |
5,84 |
5,82 |
5,80 |
5,77 |
5,75 |
5,72 |
5,69 |
5,66 |
5,63 |
|
5 |
4,68 |
4,64 |
4,60 |
4,58 |
4,56 |
4,53 |
4,50 |
4,46 |
4,43 |
4,41 |
4,37 |
|
6 |
4,00 |
3,96 |
3,92 |
3,90 |
3,87 |
3,84 |
3,81 |
3,77 |
3,74 |
3,71 |
3,67 |
|
7 |
3,57 |
3,53 |
3,49 |
3,47 |
3,44 |
3,41 |
3,38 |
3,34 |
3,30 |
3,27 |
3,23 |
|
8 |
3,28 |
3,24 |
3,20 |
3,17 |
3,15 |
3,12 |
3,08 |
3,04 |
3,01 |
2,97 |
2,93 |
|
9 |
3,07 |
3,03 |
2,99 |
2,96 |
2,94 |
2,90 |
2,86 |
2,83 |
2,79 |
2,76 |
2,71 |
|
10 |
2,91 |
2,86 |
2,83 |
2,80 |
2,77 |
2,74 |
2,70 |
2,66 |
2,62 |
2,59 |
2,54 |
|
11 |
2,79 |
2,74 |
2,70 |
2,67 |
2,65 |
2,61 |
2,57 |
2,53 |
2,49 |
2,46 |
2,40 |
|
12 |
2,69 |
2,64 |
2,60 |
2,57 |
2,54 |
2,51 |
2,47 |
2,43 |
2,38 |
2,35 |
2,30 |
|
13 |
2,60 |
2,55 |
2,51 |
2,48 |
2,46 |
2,42 |
2,38 |
2,34 |
2,30 |
2,26 |
2,21 |
|
14 |
2,53 |
2,43 |
2,44 |
2,41 |
2,39 |
2,35 |
2,31 |
2,27 |
2,22 |
2,19 |
2,13 |
|
15 |
2,48 |
2,42 |
2,38 |
2,35 |
2,33 |
2,29 |
2,25 |
2,20 |
2,16 |
2,12 |
2,07 |
|
16 |
2,42 |
2,37 |
2,33 |
2,30 |
2,28 |
2,24 |
2,19 |
2,15 |
2,11 |
2,07 |
2,01 |
|
17 |
2,38 |
2,33 |
2,29 |
2,26 |
2,23 |
2,19 |
2,15 |
2,10 |
2,06 |
20,2 |
1,96 |
|
18 |
2,34 |
2,29 |
2,25 |
2,22 |
2,19 |
2,15 |
2,11 |
2,06 |
2,02 |
1,98 |
1,92 |
|
19 |
2,31 |
2,26 |
2,21 |
2,18 |
2,16 |
2,11 |
2,07 |
2,03 |
1,98 |
1,94 |
1,88 |
|
20 |
2,28 |
2,22 |
2,18 |
2,15 |
2,12 |
2,08 |
2,04 |
1,99 |
1,95 |
1,91 |
1,84 |
|
21 |
2,25 |
2,20 |
2,16 |
2,12 |
2,10 |
2,05 |
2,01 |
1,96 |
1,92 |
1,88 |
1,81 |
|
22 |
2,23 |
2,17 |
2,13 |
2,10 |
2,07 |
2,03 |
1,98 |
1,94 |
1,89 |
1,85 |
1,78 |
|
23 |
2,20 |
2,15 |
2,11 |
2,07 |
2,05 |
2,00 |
1,96 |
1,91 |
1,86 |
1,82 |
1,76 |
|
24 |
2,18 |
2,13 |
2,09 |
2,05 |
2,03 |
1,98 |
1,94 |
1,89 |
1,84 |
1,80 |
1,73 |
|
25 |
2,16 |
2,11 |
2,07 |
2,04 |
2,01 |
1,96 |
1,92 |
1,87 |
1,82 |
1,78 |
1,71 |
|
26 |
2,15 |
2,09 |
2,05 |
2,02 |
1,99 |
1,95 |
1,90 |
1,85 |
1,80 |
1,76 |
1,69 |
|
27 |
2,13 |
2,08 |
2,04 |
2,00 |
1,97 |
1,93 |
1,88 |
1,84 |
1,79 |
1,74 |
1,67 |
|
28 |
2,12 |
1,06 |
2,02 |
1,99 |
1,96 |
1,91 |
1,87 |
1,82 |
1,77 |
1,73 |
1,65 |
|
29 |
2,10 |
2,05 |
2,01 |
1,97 |
1,94 |
1,90 |
1,85 |
1,81 |
1,75 |
1,71 |
1,64 |
|
30 |
2,09 |
2,04 |
1,99 |
1,96 |
1,93 |
1,89 |
1,84 |
1,79 |
1,74 |
1,70 |
1,62 |
|
34 |
2,05 |
1,99 |
1,95 |
1,92 |
1,89 |
1,84 |
1,80 |
1,75 |
1,69 |
1,65 |
1,57 |
|
40 |
2,00 |
1,95 |
1,90 |
1,87 |
1,84 |
1,79 |
1,74 |
1,69 |
1,34 |
1,59 |
1,51 |
|
50 |
1,95 |
1,89 |
1,85 |
1,81 |
1,78 |
1,74 |
1,69 |
1,63 |
1,58 |
1,52 |
1,44 |
|
70 |
1,89 |
1,84 |
1,79 |
1,75 |
1,72 |
1,67 |
1,62 |
1,57 |
1,50 |
1,45 |
1,35 |
|
100 |
1,85 |
1,79 |
1,75 |
1,71 |
1,68 |
1,63 |
1,57 |
1,52 |
1,45 |
1,39 |
1,28 |
|
200 |
1,80 |
1,74 |
1,69 |
1,66 |
1,62 |
1,57 |
1,52 |
1,46 |
1,39 |
1,32 |
1,19 |
|
500 |
1,77 |
1,71 |
1,66 |
1,62 |
1,59 |
1,54 |
1,48 |
1,42 |
1,34 |
1,28 |
1,11 |
|
¥ |
1,75 |
1,69 |
1,64 |
1,60 |
1,57 |
1,52 |
1,46 |
1,39 |
1,32 |
1,24 |
1,00 |
Bảng 5 (tiếp theo)
2) a = 0,01; 1 – a = 0,99
|
n2 |
n1 |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
1 |
4050 |
5000 |
5400 |
5630 |
5730 |
5830 |
5930 |
7980 |
6020 |
6060 |
|
2 |
98,5 |
99,0 |
99,2 |
99,2 |
99,3 |
99,3 |
99,4 |
99,4 |
99,4 |
99,4 |
|
3 |
34,1 |
30,8 |
29,5 |
28,7 |
28,2 |
27,9 |
27,7 |
27,5 |
27,3 |
27,2 |
|
4 |
21,2 |
18,0 |
16,7 |
16,0 |
15,5 |
15,2 |
15,0 |
14,8 |
14,7 |
14,5 |
|
5 |
16,3 |
13,3 |
12,1 |
11,4 |
11,0 |
10,7 |
10,5 |
10,3 |
10,2 |
10 1 |
|
6 |
13,7 |
10,9 |
9,78 |
9,15 |
8,75 |
8,47 |
8,26 |
8,10 |
7,98 |
7,87 |
|
7 |
12,2 |
9,55 |
8,45 |
7,85 |
7,46 |
7,19 |
6,99 |
6,84 |
6,72 |
6,62 |
|
8 |
11,3 |
8,65 |
7,59 |
7,01 |
6,63 |
6,37 |
6,18 |
6,03 |
5,91 |
5,81 |
|
9 |
10,6 |
8,02 |
6,99 |
6,42 |
6,06 |
5,80 |
5,61 |
5,47 |
5,35 |
5,26 |
|
10 |
10,0 |
7,56 |
6,55 |
5,99 |
5,64 |
5,39 |
5,20 |
5,06 |
4,94 |
4,85 |
|
11 |
9,65 |
7,21 |
6,22 |
5,67 |
5,32 |
5,07 |
4,89 |
4,30 |
4,63 |
4,54 |
|
12 |
9,33 |
6,93 |
5,95 |
5,41 |
5,06 |
4,82 |
4,64 |
4,50 |
4,39 |
4,30 |
|
13 |
9,07 |
6,70 |
5,74 |
5,21 |
4,86 |
4,62 |
4,44 |
4,30 |
4,19 |
4,10 |
|
14 |
8,86 |
6,51 |
5,56 |
5,04 |
4,69 |
4,46 |
4,28 |
4,14 |
4,03 |
3,94 |
|
15 |
8,68 |
6,36 |
5,42 |
4,89 |
4,56 |
4,32 |
4,14 |
4,00 |
3,89 |
3,80 |
|
16 |
8,53 |
6,23 |
5,29 |
4,77 |
4,44 |
4,20 |
4,03 |
3,89 |
3,78 |
3,69 |
|
17 |
8,40 |
6,11 |
5,18 |
4,67 |
4,34 |
4,10 |
3,93 |
3,79 |
3,68 |
3,59 |
|
18 |
8,29 |
6,01 |
5,09 |
4,58 |
4,25 |
4,01 |
3,84 |
3,71 |
3,60 |
3,51 |
|
19 |
8,18 |
5,93 |
5,01 |
450 |
4,17 |
3,94 |
3,77 |
3,63 |
3,52 |
3,43 |
|
20 |
8,10 |
5,85 |
4,94 |
4,43 |
4,10 |
3,87 |
3,70 |
3,56 |
3,46 |
3,37 |
|
21 |
8,02 |
5,78 |
4,87 |
437 |
4,04 |
3,81 |
3,64 |
3,51 |
3,40 |
3,31 |
|
22 |
7,95 |
5,72 |
4,82 |
4,31 |
3,99 |
3,76 |
3,59 |
3,45 |
3,35 |
3,26 |
|
23 |
7,88 |
5,66 |
4,76 |
4,26 |
3,94 |
3,71 |
3,54 |
3,41 |
3,30 |
3,21 |
|
24 |
7,82 |
5,61 |
4,72 |
4,22 |
3,90 |
3,67 |
3,50 |
3,36 |
3,26 |
3,17 |
|
25 |
7,77 |
5,57 |
4,68 |
4,18 |
3,86 |
3,63 |
3,46 |
3,32 |
3,22 |
3,13 |
|
26 |
7,72 |
5,53 |
4,46 |
4,14 |
3,82 |
3,59 |
3,42 |
3,29 |
3,18 |
3,09 |
|
27 |
7,68 |
5,49 |
4,60 |
4,11 |
3,78 |
3,56 |
3,39 |
3,26 |
3,15 |
3,06 |
|
28 |
7,64 |
5,45 |
4,57 |
4,07 |
3,75 |
3,53 |
3,36 |
3,23 |
3,12 |
3,03 |
|
29 |
7,60 |
5,42 |
4,54 |
4,04 |
3,73 |
3,50 |
3,33 |
3,20 |
3,09 |
3,00 |
|
30 |
7,56 |
5,39 |
4,51 |
4,02 |
3,70 |
3,47 |
3,30 |
3,17 |
3,07 |
2,98 |
|
34 |
7,44 |
5,29 |
4,42 |
3,93 |
3,61 |
3,39 |
3,22 |
3,09 |
2,98 |
2,89 |
|
40 |
7,31 |
5,18 |
4,31 |
3,83 |
3,51 |
3,29 |
3,12 |
2,99 |
2,89 |
2,80 |
|
50 |
7,17 |
5,06 |
4,20 |
3,72 |
3,41 |
3,19 |
3,02 |
2,89 |
2,79 |
2,70 |
|
70 |
7,01 |
4,92 |
4,08 |
3,60 |
3,29 |
3,07 |
2,91 |
2,78 |
2,67 |
2,59 |
|
100 |
6,90 |
4,82 |
3,98 |
3,51 |
3,21 |
2,99 |
2,82 |
2,69 |
2,59 |
2,50 |
|
200 |
6,76 |
4,71 |
3,88 |
3,41 |
3,11 |
2,89 |
2,73 |
2,60 |
2,50 |
2,41 |
|
500 |
6,69 |
4,65 |
3,82 |
3,36 |
3,05 |
2,84 |
2,68 |
2,55 |
2,44 |
2,36 |
|
¥ |
6,63 |
4,61 |
3,78 |
3,32 |
3,02 |
2,80 |
2,64 |
2,52 |
2,41 |
2,32 |
Bảng 5 (kết thúc)
2) a = 0,01; 1 – a = 0,99
|
n2 |
n1 |
||||||||||
|
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
24 |
30 |
40 |
60 |
100 |
¥ |
|
|
1 |
6110 |
6140 |
6170 |
6190 |
6210 |
6230 |
6260 |
6290 |
6310 |
6330 |
6370 |
|
2 |
99,4 |
99,4 |
99,4 |
99,4 |
99,4 |
99,5 |
99,5 |
99,5 |
99,5 |
99,5 |
99,5 |
|
3 |
27,1 |
26,9 |
26,8 |
26,8 |
26,7 |
26,6 |
26,5 |
26,4 |
26,3 |
26,2 |
26,1 |
|
4 |
14,4 |
14,2 |
14,2 |
14,1 |
14,0 |
13,9 |
13,8 |
13,7 |
13,7 |
13,6 |
13,5 |
|
5 |
9,89 |
9,77 |
9,68 |
9,61 |
9,55 |
9,47 |
9,38 |
9,22 |
9,20 |
9,13 |
9,02 |
|
6 |
7,72 |
7,60 |
7,52 |
7,45 |
7,40 |
7,31 |
7,23 |
7,14 |
7,06 |
6,99 |
6,88 |
|
7 |
6,47 |
6,36 |
6,27 |
6,21 |
6,16 |
6,07 |
5,99 |
5,91 |
5,82 |
5,75 |
5,65 |
|
8 |
5,67 |
5,56 |
5,48 |
5,41 |
5,36 |
5,28 |
5,20 |
5,12 |
5,03 |
4,96 |
4,86 |
|
9 |
5,11 |
5,00 |
4,92 |
4,86 |
4,81 |
4,73 |
4,65 |
4,57 |
4,48 |
4,42 |
4,31 |
|
10 |
4,71 |
4,60 |
4,55 |
4,46 |
4,41 |
4,33 |
4,25 |
4,17 |
4,08 |
4,01 |
3,91 |
|
11 |
4,40 |
4,29 |
4,21 |
4,15 |
4,10 |
4,02 |
3,94 |
3,86 |
3,78 |
3,71 |
3,60 |
|
12 |
4,16 |
4,05 |
3,97 |
3,91 |
3,86 |
3,78 |
3,70 |
3,62 |
3,54 |
3,47 |
3,36 |
|
13 |
3,96 |
3,86 |
3,78 |
3,72 |
3,66 |
3,59 |
3,51 |
3,43 |
3,34 |
3,27 |
3,17 |
|
14 |
3,80 |
3,70 |
3,62 |
3,56 |
3,51 |
3,43 |
3,35 |
3,27 |
3,18 |
3,11 |
3,00 |
|
15 |
3,67 |
3,56 |
3,49 |
3,42 |
3,37 |
3,29 |
3,21 |
3,13 |
3,05 |
2,98 |
2,87 |
|
16 |
3,55 |
3,45 |
3,37 |
3,31 |
3,26 |
3,18 |
3,10 |
3,02 |
2,93 |
2,86 |
2,75 |
|
17 |
3,46 |
3,35 |
3,27 |
3,21 |
3,16 |
3,08 |
3,00 |
2,92 |
2,83 |
2,76 |
2,65 |
|
18 |
3,37 |
3,27 |
3,19 |
3,13 |
3,08 |
3,00 |
2,92 |
2,84 |
2,75 |
2,68 |
2,57 |
|
19 |
3,30 |
3,19 |
3,12 |
3,05 |
3,00 |
2,92 |
2,84 |
2,67 |
2,67 |
2,60 |
2,49 |
|
20 |
3,23 |
3,13 |
3,05 |
2,99 |
2,94 |
2,86 |
2,78 |
2,69 |
2,61 |
2,54 |
2,42 |
|
21 |
3,17 |
3,07 |
2,99 |
2,93 |
2,88 |
2,80 |
2,72 |
2,64 |
2,55 |
2,48 |
2,36 |
|
22 |
3,12 |
3,02 |
2,94 |
2,88 |
2,83 |
2,75 |
2,67 |
2,58 |
2,50 |
2,42 |
2,31 |
|
23 |
3,07 |
2,97 |
2,89 |
2,83 |
2,78 |
2,70 |
2,62 |
2,54 |
2,45 |
2,37 |
2,26 |
|
24 |
3,03 |
2,93 |
2,85 |
2,79 |
2,74 |
2,66 |
2,58 |
2,49 |
2,40 |
2,33 |
2,21 |
|
25 |
2,99 |
2,89 |
2,81 |
2,75 |
2,70 |
2,62 |
2,54 |
2,45 |
2,36 |
2,29 |
2,17 |
|
26 |
2,96 |
2,86 |
2,78 |
2,72 |
2,66 |
2,58 |
2,50 |
2,42 |
2,33 |
2,25 |
2,13 |
|
27 |
2,93 |
2,82 |
2,75 |
2,68 |
2,63 |
2,55 |
2,47 |
2,38 |
2,29 |
2,22 |
2,10 |
|
28 |
2,90 |
2,79 |
2,72 |
2,65 |
2,60 |
2,52 |
2,44 |
2,35 |
2,26 |
2,19 |
2,06 |
|
29 |
2,87 |
2,77 |
2,69 |
2,63 |
2,57 |
2,49 |
2,41 |
2,33 |
2,23 |
2,16 |
2,03 |
|
30 |
2,84 |
2,74 |
2,66 |
2,60 |
2,55 |
2,47 |
2,39 |
2,30 |
2,21 |
2,13 |
2,01 |
|
34 |
2,76 |
2,66 |
2,58 |
2,51 |
2,46 |
2,38 |
2,30 |
2,21 |
2,12 |
2,04 |
1,91 |
|
40 |
2,66 |
2,56 |
2,48 |
2,42 |
2,37 |
2,29 |
2,20 |
2,11 |
2,02 |
1,94 |
1,80 |
|
50 |
2,56 |
2,46 |
2,38 |
2,32 |
2,27 |
2,18 |
2,10 |
2,01 |
1,91 |
1,82 |
1,68 |
|
70 |
2,45 |
2,35 |
2,27 |
2,20 |
2,15 |
2,07 |
1,98 |
1,89 |
1,78 |
1,70 |
1,54 |
|
100 |
2,37 |
2,26 |
2,19 |
2,12 |
2,07 |
1,98 |
1,89 |
1,80 |
1,69 |
1,60 |
1,43 |
|
200 |
2,27 |
2,17 |
2,09 |
2,02 |
1,97 |
1,89 |
1,79 |
1,69 |
1,58 |
1,48 |
1,28 |
|
500 |
2,22 |
2,12 |
2,04 |
1,97 |
1,92 |
1,83 |
1,74 |
1,63 |
1,52 |
1,41 |
1,16 |
|
¥ |
2,18 |
2,08 |
2,00 |
1,93 |
1,88 |
1,79 |
1,70 |
1,59 |
1,47 |
1,36 |
1,00 |
Bảng 6 – Phân vị của phân bố độ rộng được Student hóa
R(a, n3, n4); P {SR ≥ R(a, n3, n4)} = a
1) a = 0,10
|
n4 |
n3 |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
1 |
6,93 |
13,44 |
16,36 |
18,49 |
20,15 |
21,51 |
22,64 |
24,62 |
25,49 |
|
2 |
4,13 |
5,73 |
6,77 |
7,54 |
8,14 |
8,63 |
9,05 |
9,41 |
10,72 |
|
3 |
3,33 |
4,47 |
4,20 |
5,74 |
6,16 |
6,51 |
6,81 |
7,06 |
7,29 |
|
4 |
3,01 |
3,98 |
4,50 |
5,03 |
5,39 |
5,68 |
5,93 |
6,14 |
6,33 |
|
5 |
2,85 |
3,72 |
4,26 |
4,66 |
4,93 |
5,24 |
5,46 |
5,65 |
5,82 |
|
6 |
2,76 |
3,56 |
4,07 |
4,44 |
4,73 |
4,97 |
5,17 |
5,34 |
5,50 |
|
7 |
2,68 |
3,45 |
3,93 |
4,28 |
4,55 |
4,78 |
4,97 |
5,14 |
5,28 |
|
8 |
2,63 |
3,37 |
3,83 |
4,17 |
4,43 |
4,65 |
4,83 |
4,99 |
5,13 |
|
9 |
2,59 |
3,32 |
3,76 |
4,08 |
4,34 |
4,54 |
4,72 |
4,87 |
5,01 |
|
10 |
2,56 |
3,27 |
3,70 |
4,02 |
4,26 |
4,47 |
4,64 |
4,78 |
4,91 |
|
11 |
2,54 |
3,23 |
3,66 |
3,95 |
4,20 |
4,40 |
4,57 |
4,71 |
4,84 |
|
12 |
2,52 |
3,20 |
3,62 |
3,92 |
4,16 |
4,35 |
4,51 |
4,65 |
4,78 |
|
13 |
2,50 |
3,18 |
3,59 |
3,83 |
4,12 |
4,30 |
4,46 |
4,60 |
4,72 |
|
14 |
2,49 |
3,16 |
3,56 |
3,85 |
4,08 |
4,27 |
4,42 |
4,56 |
4,68 |
|
15 |
2,48 |
3,14 |
3,54 |
3,83 |
4,05 |
4,23 |
4,39 |
4,52 |
4,64 |
|
16 |
2,47 |
3,12 |
3,52 |
3,80 |
4,03 |
4,21 |
4,36 |
4,49 |
4,61 |
|
17 |
2,46 |
3,11 |
3,50 |
3,78 |
4,00 |
4,18 |
4,33 |
4,46 |
4,58 |
|
18 |
2,45 |
3,10 |
3,49 |
3,77 |
3,98 |
4,16 |
4,31 |
4,44 |
4,55 |
|
19 |
2,45 |
3,09 |
3,47 |
3,75 |
3,97 |
4,14 |
4,29 |
4,42 |
4,53 |
|
20 |
2,44 |
3,08 |
3,46 |
3,74 |
3,95 |
4,12 |
4,27 |
4,40 |
4,51 |
|
24 |
2,42 |
3,05 |
3,42 |
3,69 |
3,90 |
4,07 |
4,21 |
4,34 |
4,44 |
|
30 |
2,40 |
3,02 |
3.39 |
3,65 |
3,85 |
4,02 |
4,16 |
4,28 |
4,38 |
|
40 |
2,38 |
2,99 |
3,35 |
3,60 |
3,80 |
3,96 |
4,10 |
4,21 |
4,32 |
|
60 |
2,36 |
2,96 |
3,31 |
3,58 |
3,75 |
3,91 |
4,04 |
4,16 |
4,25 |
|
120 |
2,34 |
2,93 |
3,28 |
3,52 |
3,71 |
3,86 |
3,99 |
4,10 |
4,19 |
|
¥ |
2,33 |
2,90 |
3,24 |
3,48 |
3,66 |
3,81 |
3,93 |
4,04 |
4,13 |
Bảng 6 (tiếp theo)
1) a = 0,10
|
n4 |
n3 |
|||||||||
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
|
1 |
25,24 |
25,92 |
26,54 |
27,10 |
27,62 |
28,10 |
28,54 |
28,96 |
29,35 |
29,71 |
|
2 |
10,01 |
10,26 |
10,49 |
10,70 |
10,80 |
11,07 |
11,24 |
11,39 |
11,54 |
11,68 |
|
3 |
7,49 |
7,67 |
7,83 |
7,98 |
8,12 |
8,25 |
8,37 |
8,48 |
8,58 |
8,68 |
|
4 |
6,49 |
6,65 |
6,78 |
6,91 |
7,02 |
7,13 |
7,23 |
7,33 |
7,41 |
7,50 |
|
5 |
5,97 |
6,10 |
6,22 |
6,34 |
6,44 |
6,54 |
6,63 |
6,71 |
6,79 |
6,86 |
|
6 |
5,64 |
5,76 |
5,87 |
5,98 |
6,07 |
6,16 |
6,25 |
6,32 |
6,40 |
6,47 |
|
7 |
5,41 |
5,53 |
5,64 |
5,74 |
5,83 |
5,91 |
5,99 |
6,06 |
6,13 |
6,19 |
|
8 |
5,25 |
5,36 |
5,46 |
5,56 |
5,64 |
5,72 |
5,80 |
5,87 |
5,93 |
6,00 |
|
9 |
5,13 |
5,23 |
5,33 |
5,42 |
5,51 |
5,58 |
5,66 |
5,72 |
5,79 |
5,85 |
|
10 |
5,03 |
5,13 |
5,23 |
5,32 |
5,40 |
5,47 |
5,54 |
5,61 |
5,67 |
5,73 |
|
11 |
4,95 |
5,05 |
5,15 |
5,23 |
5,31 |
5,38 |
5,45 |
5,51 |
5,57 |
5,63 |
|
12 |
4,89 |
4,99 |
5,08 |
5,16 |
5,24 |
5,31 |
5,37 |
5,44 |
5,49 |
5,55 |
|
13 |
4,83 |
4,93 |
5,02 |
5,10 |
5,18 |
5,25 |
5,31 |
5,37 |
5,43 |
5,48 |
|
14 |
4,79 |
4,88 |
4,97 |
5,05 |
5,12 |
5,19 |
5,26 |
5,32 |
5,37 |
5,43 |
|
15 |
4,75 |
4,84 |
4,93 |
5,01 |
5,08 |
5,15 |
5,21 |
5,27 |
5,32 |
5,38 |
|
16 |
4,71 |
4,81 |
4,89 |
4,97 |
5,04 |
5,11 |
5,17 |
5,23 |
5,28 |
5,33 |
|
17 |
4,68 |
4,77 |
4,86 |
4,93 |
5,01 |
5,07 |
5,13 |
5,19 |
5,24 |
5,30 |
|
18 |
4,65 |
4,75 |
4,83 |
4,90 |
4,98 |
5,04 |
5,10 |
5,16 |
5,21 |
5,26 |
|
19 |
4,63 |
4,72 |
4,80 |
4,88 |
4,95 |
5,01 |
5,07 |
5,13 |
5,18 |
5,23 |
|
20 |
4,61 |
4,70 |
4,78 |
4,85 |
4,92 |
4,99 |
5,05 |
5,10 |
5,16 |
5,20 |
|
24 |
4,54 |
4,63 |
4,71 |
4,78 |
4,85 |
4,91 |
4,97 |
5,02 |
5,07 |
5,12 |
|
30 |
4,47 |
4,56 |
4,64 |
4,71 |
4,77 |
4,83 |
4,89 |
4,94 |
4,99 |
5,03 |
|
40 |
4,41 |
4,48 |
4,56 |
4,63 |
4,69 |
4,76 |
4,81 |
4,86 |
4,90 |
4,95 |
|
60 |
4,34 |
4,42 |
4,49 |
4,58 |
4,62 |
4,67 |
4,73 |
4,78 |
4,82 |
4,86 |
|
120 |
4,28 |
4,35 |
4,42 |
4,48 |
4,54 |
4,60 |
4,65 |
4,89 |
4,74 |
4,78 |
|
¥ |
4,21 |
4,28 |
4,35 |
4,41 |
4,47 |
4,52 |
4,57 |
4,61 |
4,65 |
4,69 |
Bảng 6 (tiếp theo)
2) a = 0,05
|
n4 |
n3 |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
1 |
17,97 |
26,98 |
32,82 |
37,08 |
40,41 |
43,12 |
45,40 |
47,36 |
49,07 |
|
2 |
6,08 |
8,33 |
9,80 |
10,88 |
11,74 |
12,44 |
13,03 |
13,54 |
13,99 |
|
3 |
4,50 |
5,91 |
6,82 |
7,50 |
8,04 |
8,48 |
8,85 |
9,18 |
9,40 |
|
4 |
3,93 |
5,04 |
5,76 |
6,29 |
6,71 |
7,05 |
7,35 |
7,60 |
8,83 |
|
5 |
3,64 |
4,60 |
5,22 |
5,67 |
6,03 |
6,33 |
6,58 |
6,80 |
7,99 |
|
6 |
3,46 |
4,34 |
4,90 |
5,30 |
5,63 |
5,90 |
6,12 |
6,32 |
6,49 |
|
7 |
3,34 |
4,16 |
4,68 |
5,06 |
5,36 |
5,61 |
5,82 |
5,00 |
6,19 |
|
8 |
3,26 |
4,04 |
4,53 |
4,89 |
5,17 |
5,40 |
5,60 |
5,77 |
6,92 |
|
9 |
3,20 |
3,95 |
4,41 |
4,76 |
5,02 |
5,24 |
5,43 |
5,59 |
5,74 |
|
10 |
3,15 |
3,88 |
4,33 |
4,65 |
4,91 |
5,12 |
5,30 |
5,46 |
5,60 |
|
11 |
3,11 |
3,82 |
4,26 |
4,57 |
4,82 |
5,03 |
5,20 |
5,35 |
5,49 |
|
12 |
3,08 |
3,77 |
4,20 |
4,51 |
4,75 |
4,95 |
5,12 |
5,27 |
5,39 |
|
13 |
3,06 |
3,73 |
4,15 |
4,45 |
4,64 |
4,88 |
5,05 |
5,19 |
5,32 |
|
14 |
3,03 |
3,70 |
4,11 |
4,41 |
4,64 |
4,83 |
4,99 |
5,13 |
5,25 |
|
15 |
3,01 |
3,67 |
4,08 |
4,37 |
4,59 |
4,78 |
4,94 |
5,08 |
5,20 |
|
16 |
3,00 |
3,65 |
4,05 |
4,33 |
4,56 |
4,74 |
4,90 |
5,03 |
5,15 |
|
17 |
2,98 |
3,63 |
4,02 |
4,30 |
4,52 |
4,70 |
4,86 |
4,99 |
5,11 |
|
18 |
2,97 |
3,61 |
4,00 |
4,28 |
4,49 |
4,67 |
4,82 |
4,96 |
5,07 |
|
19 |
2,96 |
3,59 |
3,98 |
4,25 |
4,47 |
4,65 |
4,79 |
4,92 |
5,04 |
|
20 |
2,95 |
3,58 |
3,95 |
4,23 |
4,45 |
4,62 |
4,77 |
4,90 |
5,01 |
|
24 |
2,92 |
3,53 |
3,90 |
4,17 |
4,37 |
4,54 |
4,68 |
4,81 |
4,92 |
|
30 |
2,89 |
3,49 |
3,85 |
4,10 |
4,30 |
4,46 |
4,60 |
4,72 |
4,82 |
|
40 |
2,86 |
3,44 |
3,79 |
4,04 |
4,23 |
4,39 |
4,52 |
4,63 |
4,73 |
|
60 |
2,83 |
3,40 |
3,74 |
3,98 |
4,16 |
4,31 |
4,44 |
4,55 |
4,65 |
|
120 |
2,80 |
3,36 |
3,68 |
3,92 |
4,10 |
4,24 |
4,36 |
4,47 |
4,56 |
|
¥ |
2,77 |
3,31 |
3,63 |
3,86 |
4,03 |
4,17 |
4,29 |
4,39 |
4,47 |
Bảng 6 (tiếp theo)
2) a = 0,05
|
n4 |
n3 |
|||||||||
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
|
1 |
50,59 |
51,96 |
53,20 |
54,33 |
55,36 |
56,32 |
57,22 |
58,04 |
58,83 |
59,58 |
|
2 |
14,39 |
14,75 |
16,08 |
15,38 |
15,65 |
15,91 |
16,14 |
16,37 |
16,57 |
16,77 |
|
3 |
9,72 |
9,95 |
10,15 |
10,35 |
10,52 |
10,69 |
10,84 |
10,98 |
11,11 |
11,24 |
|
4 |
8,03 |
8,21 |
8,37 |
8,32 |
8,66 |
8,79 |
8,91 |
9,03 |
9,13 |
9,23 |
|
5 |
7,17 |
7,32 |
7,47 |
7,60 |
7,72 |
7,83 |
7,93 |
8,03 |
8,12 |
8,21 |
|
6 |
6,65 |
6,79 |
6,92 |
7,03 |
7,14 |
7,24 |
7,34 |
7,43 |
7,51 |
7,59 |
|
7 |
6,30 |
6,43 |
6,55 |
6,66 |
6,76 |
6,85 |
6,94 |
7,02 |
7,10 |
7,17 |
|
8 |
6,05 |
6,18 |
6,29 |
6,39 |
6,48 |
6,57 |
6,65 |
6,73 |
6,80 |
6,87 |
|
9 |
5,87 |
5,98 |
6,09 |
6,19 |
6,28 |
6,36 |
6,44 |
6,51 |
6,58 |
6,64 |
|
10 |
5,72 |
5,83 |
5,93 |
6,03 |
6,11 |
6,19 |
6,27 |
6,34 |
6,40 |
6,47 |
|
11 |
5,61 |
5,71 |
5,81 |
5,90 |
5,98 |
6,06 |
6,13 |
6,20 |
6,27 |
6,33 |
|
12 |
5,51 |
5,61 |
5,71 |
5,80 |
5,88 |
5,96 |
6,02 |
6,09 |
6,15 |
6,21 |
|
13 |
5,43 |
5,53 |
5,63 |
5,71 |
5,79 |
5,86 |
5,93 |
5,99 |
6,05 |
6,11 |
|
14 |
5,36 |
5,46 |
5,55 |
5,64 |
5,71 |
5,79 |
5,85 |
5,91 |
5,97 |
5,03 |
|
15 |
5,31 |
5,40 |
5,49 |
5,57 |
5,65 |
5,72 |
5,78 |
5,85 |
5,90 |
5,96 |
|
16 |
5,26 |
5,36 |
5,44 |
5,52 |
5,59 |
5,66 |
5,73 |
5,79 |
5,84 |
5,90 |
|
17 |
5,21 |
5,31 |
5,39 |
5,47 |
5,54 |
5,61 |
5,67 |
5,73 |
5,79 |
5,84 |
|
18 |
5,17 |
5,27 |
5,35 |
5,43 |
5,50 |
5,57 |
5,63 |
5,69 |
5,74 |
5,79 |
|
19 |
5,14 |
5,23 |
5,31 |
5,39 |
5,46 |
5,53 |
5,59 |
5,65 |
5,70 |
5,75 |
|
20 |
5,11 |
5,20 |
5,28 |
5,36 |
5,43 |
5,49 |
5,55 |
5,61 |
5,66 |
5,71 |
|
24 |
5,01 |
5,10 |
5,18 |
5,25 |
5,32 |
5,38 |
5,44 |
5,49 |
5,55 |
5,59 |
|
30 |
4,92 |
5,00 |
5,08 |
5,15 |
5,21 |
5,27 |
5,33 |
5,38 |
5,43 |
5,47 |
|
40 |
4,82 |
4,90 |
4,98 |
5,04 |
5,11 |
5,16 |
5,22 |
5,27 |
5,31 |
5,36 |
|
60 |
4,73 |
4,81 |
4,88 |
4,94 |
5,00 |
5,06 |
5,11 |
5,15 |
5,20 |
5,24 |
|
120 |
4,64 |
4,71 |
4,78 |
4,84 |
4,90 |
4,95 |
5,00 |
5,04 |
5,09 |
5,13 |
|
¥ |
4,55 |
4,62 |
4,68 |
4,74 |
4,80 |
4,86 |
4,89 |
4,93 |
4,97 |
5,01 |
Bảng 6 (tiếp theo)
3) a = 0,01
|
n4 |
n3 |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
1 |
90,03 |
135,0 |
164,3 |
185,6 |
202,2 |
215,8 |
227,2 |
237,0 |
245,6 |
|
2 |
14,04 |
19,02 |
22,29 |
24,72 |
26,63 |
28,20 |
29,53 |
30,68 |
31,69 |
|
3 |
8,26 |
10,62 |
12,17 |
13,33 |
14,24 |
15,00 |
15,64 |
16,20 |
16,69 |
|
4 |
6,51 |
8,12 |
9,17 |
9,96 |
10,58 |
11,10 |
11,55 |
11,93 |
12,27 |
|
5 |
5,70 |
6,98 |
7,80 |
8,42 |
8,91 |
9,32 |
9,67 |
9,97 |
10,24 |
|
6 |
5,24 |
6,33 |
7,03 |
7,56 |
7,97 |
8,32 |
8,61 |
8,87 |
9,10 |
|
7 |
4,95 |
5,92 |
6,54 |
7,01 |
7,37 |
7,68 |
7,94 |
8,17 |
8,37 |
|
8 |
4,75 |
5,64 |
6,20 |
6,62 |
6,96 |
7,24 |
7,47 |
7,68 |
8,86 |
|
9 |
4,60 |
5,43 |
5,96 |
6,35 |
6,66 |
6,91 |
7,13 |
7,33 |
7,49 |
|
10 |
4,48 |
5,27 |
5,77 |
6,14 |
6,43 |
6,67 |
6,87 |
7,05 |
7,21 |
|
11 |
4,39 |
5,15 |
5,62 |
5,97 |
6,25 |
6,48 |
6,67 |
6,84 |
7,99 |
|
12 |
4,32 |
5,05 |
5,50 |
5,84 |
6,10 |
6,32 |
6,51 |
6,67 |
6,81 |
|
13 |
4,26 |
4,96 |
5,40 |
5,73 |
5,98 |
6,19 |
6,37 |
6,53 |
6,67 |
|
14 |
4,21 |
4,89 |
5,32 |
5,63 |
5,88 |
6,08 |
6,26 |
6,41 |
6,54 |
|
15 |
4,17 |
4,84 |
5,25 |
5,56 |
5,80 |
5,99 |
6,16 |
6,31 |
6,44 |
|
16 |
4,13 |
4,79 |
5,19 |
5,49 |
5,72 |
5,92 |
6,08 |
6,22 |
6.35 |
|
17 |
4,10 |
4,74 |
5,14 |
5,43 |
5,66 |
5,85 |
6,01 |
6,15 |
6,27 |
|
18 |
4,07 |
4,70 |
5,09 |
5,38 |
5,60 |
5,79 |
5,94 |
6,08 |
6,20 |
|
19 |
4,05 |
4,67 |
5,05 |
5,33 |
5,55 |
5,73 |
5,89 |
6,02 |
6,14 |
|
20 |
4,02 |
4,64 |
5,02 |
5,29 |
5,51 |
5,69 |
5,84 |
5,97 |
6,09 |
|
24 |
3,96 |
4,55 |
4,91 |
5,17 |
5.37 |
5,54 |
5,69 |
5,81 |
5,92 |
|
30 |
3,89 |
4,45 |
4,80 |
5,05 |
5,24 |
5,40 |
5,54 |
5,65 |
5,76 |
|
40 |
3,82 |
4,37 |
4,70 |
4,93 |
5,11 |
5,26 |
5,39 |
5,50 |
5,60 |
|
60 |
3,76 |
4,28 |
4,59 |
4,82 |
4,99 |
5,13 |
5,25 |
5,36 |
5,45 |
|
120 |
3,70 |
4,20 |
4,50 |
4,71 |
4,87 |
5,01 |
5,12 |
5,21 |
5,30 |
|
¥ |
3,64 |
4,12 |
4,40 |
4,60 |
4,76 |
4,88 |
4,99 |
5,08 |
5,16 |
Bảng 6 (kết thúc)
3) a = 0,01
|
n4 |
n3 |
|||||||||
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
|
1 |
253,2 |
260,0 |
266,2 |
271,8 |
277,0 |
281,8 |
286,3 |
290,4 |
291,3 |
298,0 |
|
2 |
32,59 |
33,40 |
34,13 |
34,81 |
35,43 |
36,00 |
36,53 |
37,03 |
37,50 |
37,95 |
|
3 |
17,13 |
17,53 |
17,89 |
18,22 |
18,52 |
18,81 |
19,07 |
19,32 |
19,55 |
19,75 |
|
4 |
12,57 |
12,84 |
13,09 |
13,32 |
13,53 |
13,73 |
13,91 |
14,08 |
14,24 |
14,40 |
|
5 |
10,48 |
10,70 |
10,89 |
11,08 |
11,24 |
11,40 |
11,55 |
11,68 |
11,81 |
11,93 |
|
6 |
9,30 |
9,48 |
9,65 |
9,81 |
9,95 |
10,08 |
10,21 |
10,32 |
10,43 |
10,54 |
|
7 |
8,55 |
8,71 |
8,86 |
9,00 |
9,12 |
9,24 |
9,36 |
9,48 |
9,55 |
9,65 |
|
8 |
8,03 |
8,18 |
8,31 |
8,44 |
8,55 |
8,66 |
8,76 |
8,85 |
8,94 |
9,03 |
|
9 |
7,65 |
7,78 |
7,91 |
8,03 |
8,13 |
8,23 |
8,33 |
8,41 |
8,49 |
8,57 |
|
10 |
7,36 |
7,49 |
7,60 |
7,71 |
7,81 |
7,91 |
7,99 |
8,08 |
8,15 |
8,23 |
|
11 |
7,13 |
7,25 |
7,36 |
7,46 |
7,56 |
7,65 |
7,73 |
7,81 |
7,88 |
7,95 |
|
12 |
6,94 |
7,06 |
7,17 |
7,26 |
7,36 |
7,44 |
7,52 |
7,59 |
7,66 |
7,73 |
|
13 |
6,79 |
6,90 |
7,01 |
7,10 |
7,19 |
7,27 |
7,325 |
7,42 |
7,48 |
7,55 |
|
14 |
6,66 |
6,77 |
6,87 |
6,96 |
7,05 |
7,13 |
7,20 |
7,27 |
7,33 |
7,39 |
|
15 |
6,55 |
6,66 |
6,76 |
6,84 |
6,93 |
7,00 |
7,07 |
7,14 |
7,20 |
7,26 |
|
16 |
6,46 |
6,56 |
6,66 |
6,74 |
6,82 |
6,90 |
6,97 |
7,03 |
7,09 |
7,15 |
|
17 |
6,38 |
6,48 |
6,57 |
6,66 |
6,73 |
6,81 |
6,87 |
6,94 |
7,00 |
7,05 |
|
18 |
6,31 |
6,41 |
6,50 |
6,58 |
6,65 |
6,73 |
6,79 |
6,85 |
6,91 |
6,97 |
|
19 |
6,25 |
6,34 |
6,43 |
6,51 |
6,58 |
6,65 |
6,72 |
6,78 |
6,84 |
6,89 |
|
20 |
6,19 |
6,28 |
6,37 |
6,45 |
6,52 |
6,59 |
6,63 |
6,71 |
6,77 |
6,82 |
|
24 |
6,02 |
6,11 |
6,19 |
6,26 |
6,33 |
6,39 |
6,45 |
6,51 |
6,54 |
6,61 |
|
30 |
5,85 |
5,93 |
6,01 |
6,08 |
6,14 |
6,20 |
6,26 |
6,31 |
6,38 |
6,41 |
|
40 |
5,69 |
5,76 |
5,83 |
5,90 |
5,96 |
6,02 |
6,07 |
6,12 |
6,16 |
6,21 |
|
60 |
5,53 |
5,60 |
5,67 |
5,73 |
5,78 |
5,84 |
5,89 |
5,93 |
5,97 |
6,01 |
|
120 |
5,37 |
5,44 |
5,50 |
5,58 |
5,61 |
5,66 |
5,71 |
5,75 |
5,79 |
5,83 |
|
¥ |
5,23 |
5,29 |
5,35 |
5,40 |
5,45 |
5,49 |
5,54 |
5,57 |
5,61 |
5,65 |
Bảng 7 – Phân vị của phân bố Kruskal – Wallis với 3 mẫu có cỡ không quá 5 (K = 3)
P {h ≤ ha,k (n1, n2, n3)} = 1 – a
|
n1 |
n2 |
n3 |
a |
|
n1 |
n2 |
n3 |
a |
||||
|
0,10 |
0,05 |
0,01 |
0,10 |
0,05 |
0,01 |
|||||||
|
|
2 |
2 |
4,57 |
– |
– |
5 |
3 |
1 |
4,01 |
4,96 |
– |
|
|
3 |
2 |
2 |
4,50 |
4,71 |
– |
5 |
3 |
2 |
4,65 |
5,25 |
6,82 |
|
|
3 |
3 |
2 |
4,55 |
5,36 |
– |
5 |
3 |
3 |
4,53 |
5,34 |
6,98 |
|
|
3 |
3 |
3 |
4,62 |
5,60 |
7,20 |
5 |
4 |
1 |
3,98 |
4,98 |
6,95 |
|
|
4 |
2 |
2 |
4,37 |
5,33 |
– |
5 |
4 |
2 |
4,54 |
5,27 |
7,11 |
|
|
4 |
3 |
2 |
4,51 |
5,44 |
6,44 |
5 |
4 |
3 |
4,54 |
5,63 |
7,44 |
|
|
4 |
3 |
3 |
4,70 |
5,72 |
6,74 |
5 |
4 |
4 |
4,61 |
5,61 |
7,76 |
|
|
4 |
4 |
1 |
4,16 |
4,96 |
6,66 |
5 |
5 |
1 |
4,10 |
5,12 |
7,30 |
|
|
4 |
4 |
2 |
4,55 |
5,45 |
7,03 |
5 |
5 |
2 |
4,50 |
5,33 |
7,33 |
|
|
4 |
4 |
3 |
4,54 |
5,59 |
7,14 |
5 |
5 |
3 |
4,54 |
5,70 |
7,57 |
|
|
4 |
4 |
4 |
4,65 |
5,69 |
7,65 |
5 |
5 |
4 |
4,52 |
5,66 |
7,82 |
|
|
5 |
2 |
2 |
4,37 |
5,16 |
6,53 |
5 |
5 |
5 |
4,56 |
5,78 |
7,98 |
|
Bảng 8 – Phân vị của phân bố tổng hạng Kruskal – Wallis
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
|
K |
y(a, K, 2) |
a |
y(a, K, 3) |
a |
y(a, K, 4) |
a |
y(a, K, 5) |
a |
y(a, K, 6) |
a |
|
3 |
8 |
.067 |
15 |
.064 |
24 |
.045 |
33 |
.048 |
43 |
.049 |
|
|
|
|
16 |
.029 |
25 |
.031 |
35 |
.031 |
51 |
0.11 |
|
|
|
|
17 |
.011 |
27 |
.011 |
39 |
.009 |
|
|
|
4 |
12 |
.029 |
22 |
.043 |
34 |
.049 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
.023 |
36 |
.026 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
.012 |
38 |
.012 |
|
|
|
|
|
5 |
15 |
.048 |
28 |
.060 |
44 |
.056 |
|
|
|
|
|
|
16 |
.016 |
30 |
.023 |
46 |
.033 |
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
.007 |
50 |
.010 |
|
|
|
|
|
6 |
19 |
.030 |
35 |
.055 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
.010 |
37 |
.024 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
.009 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
22 |
.056 |
42 |
.054 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
.021 |
44 |
.026 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
.007 |
46 |
.012 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
26 |
.041 |
49 |
.055 |
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
.005 |
51 |
.029 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
.010 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
29 |
.063 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
.031 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
.012 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
33 |
.050 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
.025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
.009 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
37 |
.040 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
.020 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
.008 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
40 |
.062 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
.020 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
.006 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
44 |
.052 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
.028 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
.014 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
48 |
.044 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
.024 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
.012 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
52 |
.038 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
.010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Bảng 9 – Phân vị của phân bố độ rộng của K biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn N (0,1)
|
K |
|
||||||||
|
0,0001 |
0,0005 |
0,001 |
0,005 |
0,01 |
0,025 |
0,05 |
0,10 |
0,20 |
|
|
2 |
5,502 |
4,923 |
4,654 |
3,970 |
3,643 |
3,170 |
2,772 |
2,326 |
1,812 |
|
3 |
5,864 |
5,316 |
5,063 |
4,424 |
4,120 |
3,682 |
3,314 |
2,902 |
2,424 |
|
4 |
6,083 |
5,553 |
5,309 |
4,694 |
4,403 |
3,984 |
3,633 |
3,240 |
2,784 |
|
5 |
6,240 |
5,722 |
5,484 |
4,886 |
4,603 |
4,197 |
3,858 |
3,478 |
3,037 |
|
6 |
6,362 |
5,853 |
5,619 |
5,033 |
4,757 |
4,361 |
4,030 |
3,661 |
3,232 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
6,461 |
5,960 |
5,730 |
5,154 |
4,885 |
4,494 |
4,170 |
3,808 |
3,289 |
|
8 |
6,546 |
6,050 |
5,823 |
5,255 |
4,987 |
4,605 |
4,286 |
3,931 |
3,520 |
|
9 |
6,618 |
6,127 |
5,903 |
5,341 |
5,078 |
4,700 |
4,387 |
4,037 |
3,632 |
|
10 |
6,682 |
6,196 |
5,973 |
5,418 |
5,157 |
4,784 |
4,474 |
4,129 |
3,730 |
|
11 |
6,739 |
6,257 |
6,036 |
5,485 |
5,227 |
4,858 |
4,552 |
4,211 |
3,817 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
6,791 |
6,311 |
6,092 |
5,546 |
5,290 |
4,925 |
4,622 |
4,285 |
3,895 |
|
13 |
6,837 |
6,361 |
6,144 |
5,602 |
5,348 |
4,985 |
4,685 |
4,351 |
3,966 |
|
14 |
6,880 |
6,407 |
6,191 |
5,652 |
5,400 |
5,041 |
4,743 |
4,412 |
4,030 |
|
15 |
6,920 |
6,449 |
6,234 |
5,699 |
5,448 |
5.092 |
4,796 |
4,468 |
4,089 |
|
16 |
6,957 |
6,488 |
6,274 |
5,742 |
5,493 |
5,139 |
4,845 |
4,519 |
4,144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
6,991 |
6,525 |
6,312 |
5,783 |
5,535 |
5,183 |
4,891 |
4,568 |
4,195 |
|
18 |
7,023 |
6,559 |
6,347 |
5,840 |
5,574 |
5,224 |
4,934 |
4,612 |
4,242 |
|
19 |
7,054 |
6,591 |
6,380 |
5,856 |
5,611 |
5,262 |
4,974 |
4,654 |
4,287 |
|
20 |
7,082 |
6,621 |
6,411 |
5,889 |
5,645 |
5,299 |
5,012 |
4,694 |
4,329 |
|
22 |
7,135 |
6,677 |
6,469 |
5,951 |
5,709 |
5,365 |
5,081 |
4,767 |
4,405 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
7,183 |
6,727 |
6,520 |
6,006 |
5,766 |
5,425 |
5,144 |
4,832 |
4,475 |
|
26 |
7,226 |
6,773 |
6,568 |
6,057 |
5,818 |
5,480 |
5,201 |
4,892 |
4,475 |
|
28 |
7,266 |
6,816 |
6,611 |
6,103 |
5,866 |
5,530 |
5,253 |
4,947 |
4,595 |
|
30 |
7,303 |
6,855 |
6,651 |
6,146 |
5,911 |
5,577 |
5,301 |
4,997 |
4,648 |
|
32 |
7,337 |
6,891 |
6,689 |
6,186 |
5,952 |
5,620 |
5,246 |
5,004 |
4,697 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
7,370 |
6,925 |
6,723 |
6,223 |
5,990 |
5,660 |
5,388 |
5,087 |
4,743 |
|
36 |
7,400 |
6,957 |
6,756 |
6,258 |
6,026 |
5,698 |
5,427 |
5,128 |
4,786 |
|
38 |
7,428 |
6,987 |
6,787 |
6,291 |
6,060 |
5,733 |
5,463 |
5,166 |
4,826 |
|
40 |
7,455 |
7,015 |
6,818 |
6,322 |
6,092 |
5,766 |
5,498 |
5,202 |
4,864 |
|
50 |
7,571 |
7,137 |
6,941 |
6,454 |
6,228 |
5,909 |
5,646 |
5,357 |
5,026 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
7,664 |
7,235 |
7,041 |
6,561 |
6,338 |
6,023 |
5,764 |
5,480 |
5,155 |
|
70 |
7,741 |
7,317 |
7,124 |
6,649 |
6,429 |
6,118 |
5,863 |
5,582 |
5,262 |
|
80 |
7,808 |
7,387 |
7,196 |
6,725 |
6,507 |
6,199 |
5,947 |
5,669 |
5,353 |
|
90 |
7,866 |
7,448 |
7,259 |
6,792 |
6,575 |
6,270 |
6,020 |
5,745 |
5,433 |
|
100 |
7,918 |
7,502 |
7,314 |
6,850 |
6,636 |
6,333 |
6,085 |
5,812 |
5,503 |
Bảng 10 – Phân vị của phân bố chuẩn N (0,1)
P {N (0, 1) ≤ Up) = 1 – p
|
p |
Up |
|
p |
Up |
|
p |
Up |
|
0,10 |
1,281 55 |
0,009 |
2,365 62 |
0,000 05 |
3,890 59 |
||
|
0,095 |
1,310 58 |
0,008 |
2,408 92 |
0,000 01 |
4,264 89 |
||
|
0,090 |
1,340 76 |
0,007 |
2,457 26 |
0,000 005 |
4,417 17 |
||
|
0,085 |
1,372 20 |
0,006 |
2,512 14 |
0,000 001 |
4,753 42 |
||
|
0,080 |
1,405 07 |
0,005 |
2,575 83 |
0,000 000 5 |
4,891 64 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,075 |
1,439 53 |
0,004 |
2,652 07 |
0,000 000 1 |
5,199 34 |
||
|
0,070 |
1,475 79 |
0,003 |
2,747 78 |
0,000 000 05 |
5,326 72 |
||
|
0,065 |
1,514 10 |
0,002 |
2,878 16 |
0,000 000 01 |
5,612 00 |
||
|
0,060 |
1,554 77 |
0,001 |
3,090 23 |
0,000 000 005 |
5,730 73 |
||
|
0,055 |
1,598 19 |
|
|
0,000 000 001 |
5,997 81 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
0,050 |
1,644 85 |
0,000 9 |
3,121 39 |
|
|
||
|
0,045 |
1,695 40 |
0,000 8 |
3,155 91 |
|
|
||
|
0,040 |
1,750 69 |
0,000 7 |
3,194 65 |
|
|
||
|
0,035 |
1,811 91 |
0,000 6 |
3,238 88 |
|
|
||
|
0,030 |
1,880 79 |
0,000 5 |
3,290 53 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,025 |
1,959 96 |
0,000 4 |
3,352 79 |
|
|
||
|
0,020 |
2,053 75 |
0,000 3 |
3,431 61 |
|
|
||
|
0,015 |
2,170 09 |
0,000 2 |
3,540 08 |
|
|
||
|
0,010 |
2,326 35 |
0,000 1 |
3,719 02 |
|
|
Phụ lục A
(quy định)
Sơ đồ chung của phân tích phương sai
|
Thứ tự |
Bài toán |
Phương pháp |
Cách giải quyết |
| A.1 | Biểu diễn các số liệu để xử lý bằng các phương pháp phân tích phương sai (PTPS) | Viết các mẫu dưới dạng Bảng 1 hay Bảng 3 | Nếu PTPS một nhân tố chuyển sang A.2, hai nhân tố chuyển sang A.4 |
| A.2 | Mô hình một nhân tố | ||
| A.2.1 | Kiểm nghiệm tính chuẩn của phân bố của các số liệu | Dùng các quy tắc thống kê hay dùng đồ thị | Nếu phân bố là chuẩn chuyển sang A.3, nếu không chuyển sang A.5 |
| A.3 | PTPS tham số | ||
| A.3.1 | Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai | Quy tắc Bartlett
Xem 3.1.2.1.1 nếu k > 2 hoặc xem 3.1.2.1.2 nếu k = 2 |
Nếu các phương sai là bằng nhau thì chuyển sang A.3.2, nếu không thì chuyển sang A.3.3 |
| A.3.2 | Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các trung bình | Dùng quy tắc Welch (3.1.2.2) cho trường hợp các phương sai bằng nhau | a) Nếu chấp nhận giả thuyết, các giá trị trung bình là như nhau với mọi tổng thể, kết thúc PTPS
b) Nếu bác bỏ giả thuyết, chuyển sang A.3.4.1 |
| A.3.3 | Giống 3.2 | Quy tắc trong 3.1.2.2.2 để kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai | a) Giống như A.3.2 a) kết thúc PTPS
b) Nếu bác bỏ giả thuyết chuyển sang A.3.4.2 |
| A.3.4 | So sánh đồng thời | ||
| A.3.4.1 | Các phương sai bằng nhau | Quy tắc Student – Newman – Keuls (3.3.1) | Tách ra những nhóm tổng thể không khác nhau về giá trị trung bình, kết thúc PTPS |
| A.3.4.2 | Các phương sai không bằng nhau | Quy tắc Dunnett | Giống như A.3.4.1 và kết thúc PTPS |
| A.4 | Mô hình 2 nhân tố | ||
| A.4.1 | Kiểm tra sự bằng nhau của số quan sát trong các mẫu | a) Nếu bằng nhau, chuyển sang A.4.2
b) Nếu không bằng nhau, phát biểu lại bài toán theo từ ngữ của phương pháp PTPS một nhân tố rồi chuyển sang A.2 |
|
| A.4.2 | Kiểm tra tính chuẩn của số liệu | Giống A.2.1 | a) Nếu được thực hiện, chuyển sang A.4.3
b) Nếu không, phát biểu bài toán theo phương pháp PTPS một nhân tố và chuyển sang A.5 |
| A.4.3 | Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai | Quy tắc Bartlett (3.1.2.1.1) | a) Nếu thực hiện, chuyển sang A.4.4
b) Nếu không, phát biểu bài toán thành mô hình một nhân tố, rồi chuyển sang A.3.3 |
| A.4.4 | Kiểm nghiệm giả thuyết về sự tương tác giữa hai nhân tố | Quy tắc trong 3.2.4.2 | a) Nếu giả thuyết được xác nhận, phát biểu thành mô hình một nhân tố rồi chuyển sang A.3.4
b) Ngược lại, kết luận giống A.3.2, phát biểu thành hai mô hình PTPS một nhân tố và chuyển sang A.4.5 |
| A.4.5 | Kiểm nghiệm giả thuyết về ảnh hưởng của các mức của từng nhân tố đến đại lượng cần nghiên cứu | Dùng các quy tắc trong 3.2.4.3 và 3.2.4.4 | a) Nếu giả thuyết được xác nhận, chuyển sang A.3.4.1
b) Ngược lại, kết luận là các tổng thể không khác nhau một cách có ý nghĩa, kết thúc PTPS |
| A.5 | PTPS phi tham số (chỉ xét mô hình một nhân tố) | ||
| A.5.1 | Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai | Quy tắc Brown – Forsythe (4.2.3.1) | a) Nếu các phương sai bằng nhau, chuyển sang A.5.2
b) Nếu không, không xử lý nữa, kết thúc PTPS |
| A.5.2 | Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các trung bình của đại lượng nghiên cứu | Quy tắc Kruskal – Wallis (4.2.3.2) | a) Giống như A.3.2 a), kết thúc PTPS
b) Nếu giả thuyết không đúng, chuyển sang A.5.3 |
| A.5.3 | So sánh đồng thời | Phương pháp Kruskal – Wallis để so sánh đồng thời và cách xấp xỉ nó (xem 4.3.1 và 4.3.2) | Giống như A.3.4.1 và kết thúc PTPS |
Phụ lục B
(tham khảo)
Các ví dụ
B.1 Ví dụ 1 (Minh họa 3.1.2.1)
Để thử độ biến dạng của vật liệu tổng hợp do 3 nơi sản xuất, ở mỗi nơi người ta lấy một mẫu ngẫu nhiên và đo lực tới hạn biến dạng. Các kết quả đo được cho trong Bảng B.1. Với giả thuyết các lực tới hạn biến dạng có phân bố chuẩn, hãy kiểm nghiệm có sự sai khác có ý nghĩa giữa 3 nơi sản xuất theo chỉ tiêu trên hay không.
Bảng B.1 – Lực tới hạn biến dạng tính bằng 105 N/m2
|
Mẫu 1 |
Mẫu 2 |
Mẫu 3 |
|
10,2 |
12,2 |
9,2 |
|
8,2 |
10,6 |
10,5 |
|
8,9 |
9,9 |
9,2 |
|
8,0 |
13,0 |
8,7 |
|
8,3 |
8,1 |
9,0 |
|
8,0 |
10,8 |
|
|
|
11,5 |
|
| Tổng 51,6 |
76,1 |
46,6 |
Trước hết, dùng quy tắc Bartlett để kiểm nghiệm các số liệu trong Bảng B.1 có thỏa mãn giả thuyết về sự bằng nhau của phương sai hay không? Lấy mức ý nghĩa a = 0,05.
Từ Bảng B.1, tính tổng và các giá trị trung bình:
; n1 = 6; 
; n2 = 7; 
; n3 = 5; 
Tính các phương sai mẫu:
Sau đó tính:
Vì 
nên không đủ cơ sở để bác bỏ giả thuyết các phương sai là bằng nhau.
B.2 Ví dụ 2 (Minh họa 3.1.2.1)
Để so sánh độ bền của các ống dẫn nước do 3 hãng sản xuất, ở mỗi hạng chọn ngẫu nhiên một số ống và đo áp suất tới hạn đủ làm gãy ống. Các giá trị được cho trong Bảng B.2 và giả thuyết là chúng có phân bố chuẩn.
Vấn đề đặt ra là giữa các sản phẩm của 3 hãng có sự khác biệt đáng kể hay không.
Bảng B.2 – Áp suất tới hạn
|
Mẫu 1 |
Mẫu 2 |
Mẫu 3 |
|
6,993 620 |
13,029 93 |
21,362 76 |
|
6,998 000 |
14,028 77 |
23,899 47 |
|
6,922 900 |
13,671 90 |
27,936 14 |
|
6,972 105 |
15,406 15 |
27,311 53 |
|
7,002 345 |
17,306 43 |
23,908 01 |
|
6,652 691 |
18,316 31 |
27,157 76 |
|
7,025 300 |
15,406 15 |
18,789 11 |
|
7,068 393 |
14,916 13 |
24,689 78 |
|
7,029 745 |
13,671 90 |
18,681 27 |
|
7,045 260 |
15,406 15 |
21,044 89 |
| Tổng |
|
|
|
69,685 |
151,159 82 |
244,780 72 |
Từ Bảng B.2, trước hết ta tính tổng và các giá trị trung bình:
; n1 = 10; 
; n2 = 10; 
; n3 = 10; 
Dùng công thức sau để tính các phương sai mẫu:
ta được 
= 0,033 7; 
= 2,781 9; 
= 22,658 9.
Sau đó, tính c2 = 56,000 5.
Với a = 0,05, ta có: 
Điều này chứng tỏ các phương sai là không bằng nhau. Vì vậy cần ứng dụng phương pháp phân tích phương sai trong trường hợp các phương sai là không bằng nhau.
B.3 Ví dụ 3 (Minh họa 3.1.2.2.2)
Ứng dụng phương pháp phân tích phương sai một nhân tố với các số liệu ở Bảng B.2 (các phương sai không bằng nhau).
Mức ý nghĩa a = 0,05.
Dùng một số kết quả đã tính trong ví dụ 2:
n1 = n2 = n3 = 10
Đặt 
, ta có:
W1 = 296,735 9, W2 = 3,594 7, W3 = 0,441 3
Do đó:
Theo công thức:
tính được = 175,084 85. Hơn nữa:
tức là: [¦] = 11.
Với a = 0,05, n1 = k – 1 = 2, n2 = [¦] – 1 = 10, ta có F0,95 (2,10) = 9,43.
Vì W = 175,084 85 > 9,43 suy ra các trung bình khác nhau một cách có ý nghĩa tức là giả thuyết H0 bị bác bỏ.
Để tách ra những nhóm thuần nhất về giá trị trung bình cần ứng dụng quy tắc Dunnett (xem 3.3.2).
Với a = 0,05, k = 3, ni = 10, (i = 1, 2, 3) nhờ Bảng 6 ta tìm phân vị R (0,05; 3; 9) = 3,95 và nhờ công thức (44) ta tính:
Theo công thức (45) ta tính được giới hạn của các khoảng tin cậy sau:
Từ đó suy ra mọi cặp các trung bình đều khác nhau.
B.4 Ví dụ 4 (Minh họa 3.1.2.2)
Một người sản xuất quan tâm đến giới hạn bền của loại sợi tổng hợp dùng để dệt vải may áo sơ mi nam. Giới hạn bền phụ thuộc vào tỷ lệ % bông trong sợi với 5 mức sau:
15 %, 20 %, 25 %, 30 % và 35 %.
Với mỗi mức, tiến hành 5 quan sát và ta có tất cả quan sát xếp theo một thứ tự ngẫu nhiên.
Bảng B.3 cho độ bền khi kéo sợi tổng hợp.
Cho a = 0,01, n1 = 4, n2 = 20, tra được F0,99 (4,20) = 4,43
Vì F = 14,76 > F0,99 (4,20) = 4,43 nên bác bỏ giả thuyết H0: m1 = m2 = m3 = m4 = m5
tức là tỷ lệ phần trăm của bông có ảnh hưởng rõ đến giới hạn bền của vải. Ta cần chuyển sang so sánh đồng thời các trung bình (ví dụ 5).
B.5 Ví dụ 5 (Minh họa 3.3.1)
Ứng dụng phương pháp so sánh đồng thời đối với các số liệu của ví dụ 4.
Ta có:
MSdư = 8,06; n = 5; n4 = N – k = 25 – 5 = 20.
Xếp các trung bình theo thứ tự tăng, ta có:
; 
; 
; 
; 
Đánh số lại các tổng thể theo thứ tự sau:
1 ® (1), 5 ® (2), 2 ® (3), 3 ® (4), 4 ® (5)
Tính 
Từ Bảng 6 với n4 = 20, n3 = 2, 3, 4, 5 và a = 0,05 tra được các giá trị tới hạn:
R (0,05; 2,20) = 3,49
R (0,05; 3,20) = 3,10
R (0,05; 4,20) = 2,87
R (0,05; 5,20) = 2,71
Tính các thống kê và so sánh chúng với các giá trị tới hạn tương ứng.
SR (5,2) = 8,5 > 2,87
SR (5,3) = 4,88 > 3,10
SR (5,4) = 3,14 > 3,49
SR (4,1) = 6,14 > 2,87
SR (4,2) = 5,35 > 3,10
SR (4,3)= 1,73 > 3,49
SR (3,1) = 4,41 > 3,10
SR (2,1) = 0,78 > 3,49
Do đó, các mẫu có các chỉ số (5) và (4), (3) và (4), (1) và (2) là những nhóm không khác nhau. Từ đó có thể kết luận giới hạn bền khi kéo sợi tổng hợp với tỷ lệ bông 15 % và 35 % là như nhau, tương tự cho các nhóm có tỷ lệ 20 % và 25 % và các nhóm 25 % và 30 %.
Các nhóm 30 % và 20 % nếu xét riêng không khác nhóm 25 %, nhưng chúng lại khác nhau, tức là xảy ra trường hợp các nhóm giao nhau.
Tóm lại, ta có thể chia các mức thành 3 nhóm không giao nhau như sau: 35 % và 15 %, 20 %, 25 % và 30 %.
B.6 Ví dụ 6 (Minh họa 3.2.4.2)
Phân tích phương sai hai nhân tố
Giả sử vật liệu của bản cực và nhiệt độ dung dịch có ảnh hưởng đến cường độ dòng điện của ắcquy.
Giả sử có 3 loại vật liệu và 3 chế độ nhiệt độ. Một số vấn đề được đặt ra như sau:
Loại vật liệu có ảnh hưởng đến cường độ?
Chế độ nhiệt độ có ảnh hưởng đến cường độ?
Bảng B.3
|
|
A1 = 15 % |
A2 = 20 % |
A3 = 25 % |
A4 = 30 % |
A5 = 35 % |
|
1 |
7 |
12 |
14 |
19 |
7 |
|
2 |
7 |
17 |
18 |
25 |
10 |
|
3 |
15 |
12 |
18 |
22 |
11 |
|
4 |
11 |
18 |
19 |
19 |
15 |
|
5 |
9 |
18 |
19 |
23 |
11 |
|
yi |
49 |
77 |
88 |
108 |
54 |
|
|
9,8 |
15,4 |
17,6 |
21,6 |
10,8 |
Ta có: y.. = 376
SSdư = 
Kiểm tra:
SSdư = SS – SSA = 639,96 – 475,76 = 164,20
Bảng B.4
|
Nguồn biến động |
Tổng bình phương |
Bậc tự do |
Trung bình bình phương |
Tỷ số F |
|
A |
475,76 |
4 |
118,94 |
14,76 |
|
Sai số đo |
164,20 |
20 |
8,06 |
– |
|
Chung |
639,96 |
24 |
– |
– |
Giữa vật liệu và nhiệt độ có sự tương tác hay không?
Thứ tự tiến hành 36 quan sát là ngẫu nhiên.
Bảng B.5 đưa ra các giá trị của cường độ.
Bảng B.5
|
Loại vật liệu |
Nhiệt độ, °C |
Yi… |
|||||||
|
10 |
18 |
26 |
|||||||
|
1 |
130 |
155 |
34 |
40 |
|
20 |
70 |
|
|
|
|
74 |
180 |
80 |
75 |
|
82 |
58 |
|
|
|
|
|
539 |
|
|
229 |
|
|
230 |
998 |
|
2 |
150 |
188 |
136 |
122 |
|
25 |
70 |
|
|
|
|
159 |
126 |
106 |
115 |
|
58 |
45 |
|
|
|
|
|
623 |
|
|
479 |
|
|
198 |
1 300 |
|
3 |
138 |
110 |
174 |
120 |
|
96 |
104 |
|
|
|
|
168 |
160 |
150 |
139 |
|
82 |
60 |
|
|
|
|
|
576 |
|
|
573 |
|
|
342 |
1 501 |
|
y.j. |
|
1 738 |
|
|
1 291 |
|
|
770 |
y… = 3 799 |
Tính:
SSdư = 
SSAxB = SSC – SSA – SSB – SSdư = 9 613,77
Các kết quả tính toán được lập thành Bảng B.6
Bảng B.6
|
Nguồn biến động |
Tổng bình phương |
Bậc tự do |
Trung bình bình phương |
Tỷ số F |
| A (kiểu vật liệu) |
10 683,72 |
2 |
5 341,66 |
7,91 |
| B (nhiệt độ) |
39 118,72 |
2 |
19 558,36 |
28,97 |
| A x B (tương tác) |
9 613,77 |
4 |
2 403,44 |
3,56 |
| Sai số |
18 230,50 |
27 |
675,21 |
– |
| Tổng chung |
77 646,96 |
35 |
– |
– |
Kiểm nghiệm:
H0,AxB : (ab)ij = 0 với i = 1, …, k; j = 1, …, m
Với a = 0,05, n1 = 4, n2 = 27, tra bảng ta có F0,95 (4, 27) = 2,73.
Vì FAxB = 3,56 > F0,95 (4, 27) = 2,73 nên có thể kết luận sự tương tác giữa vật liệu và nhiệt độ là có ý nghĩa.
Với mọi k x m các trung bình, ta có thể thực hiện việc so sánh đồng thời (3.3).
B.7 Ví dụ 7 (Minh họa 4.2.3)
Phân tích phương sai phi tham số
Bảng B.7 cho các số liệu để đánh giá mức độ hiệu quả để bảo vệ niêm mạc trong mũi ở những người khỏe, người mắc bệnh cấp tính về hô hấp, người mắc bệnh nghề nghiệp về hô hấp. Các số liệu trong bảng biểu diễn thời gian để niêm mạc trong mũi có thể giải phóng một nửa số bụi rơi vào. Các số liệu không tuân theo phân bố chuẩn.
Ta cần xác định xem có sự sai khác có ý nghĩa giữa nhóm bệnh nhân về thời gian cho trong Bảng B.7.
Đầu tiên dùng quy tắc Brown – Forsythe để kiểm tra sự bằng nhau của phương sai (xem 4.2.3.1).
Ở đây: k = 3, n1 = 5, n2 = 4, n3 = 5.
Bảng B.7
|
2,9 |
3,8 |
2,8 |
|
3,0 |
2,7 |
3,4 |
|
2,5 |
4,0 |
3,7 |
|
2,6 |
2,4 |
2,2 |
|
3,2 |
|
2,0 |
1) Tính trung vị:
; 
; 
2) Tính 
Các Zij
|
0 |
0,55 |
0 |
|
0,1 |
0,55 |
0,6 |
|
0,4 |
0,76 |
0,9 |
|
0,3 |
0,85 |
0,6 |
|
0,3 |
|
0,8 |
3) Tính
Với a3 = 0,05 và các bậc tự do
n1 = k – 1 = 2; n2 =
tra bảng F ta được F0,95 (2, 11) = 3,98.
Vì 
= 1,31 < F0,95 (2, 11) = 3,98 nên ta kết luận rằng các phương sai là bằng nhau và có thể dùng phép phân tích phương sai một nhân tố Kruskal – Wallis (xem 4.2.3.2).
Sắp xếp thứ tự các số liệu của Bảng B.7 và thay đổi giá trị của bảng bằng hạng của nó, ta được bảng sau:
|
(8) |
(13) |
(7) |
|
(9) |
(6) |
(11) |
|
(4) |
(14) |
(12) |
|
(5) |
(3) |
(2) |
|
(10) |
|
(1) |
|
R1 = 36 |
R2 = 36 |
R3 = 33 |
Theo công thức (54) ta được:
Với mức ý nghĩa a = 0,1 và với n1 = 5, n2 = 4, n3 = 5 tra bảng ta có:
h0,1;3 (4, 5, 5) = 4,52
Vì h = 0,771 < 4,52 suy ra sự sai khác giữa nhóm người về hiệu quả bảo vệ là không có ý nghĩa.
MỤC LỤC
Lời nói đầu
1. Phạm vi áp dụng
2. Khái niệm chung
3. Phương pháp phân tích phương sai tham số
3.1. Phân tích phương sai một nhân tố
3.2. Phân tích phương sai hai nhân tố
3.3. So sánh đồng thời
4. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số
4.1. Phạm vi ứng dụng
4.2. Mô hình một nhân tố
4.3. So sánh đồng thời
Phụ lục A (quy định) Sơ đồ chung của phân tích phương sai
Phụ lục B (tham khảo) Các ví dụ
| TIÊU CHUẨN QUỐC GIA TCVN 4551:2009 VỀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI | |||
| Số, ký hiệu văn bản | TCVN4551:2009 | Ngày hiệu lực | |
| Loại văn bản | Tiêu chuẩn Việt Nam | Ngày đăng công báo | |
| Lĩnh vực |
Lĩnh vực khác |
Ngày ban hành | |
| Cơ quan ban hành | Tình trạng | Còn hiệu lực | |
Các văn bản liên kết
| Văn bản được hướng dẫn | Văn bản hướng dẫn | ||
| Văn bản được hợp nhất | Văn bản hợp nhất | ||
| Văn bản bị sửa đổi, bổ sung | Văn bản sửa đổi, bổ sung | ||
| Văn bản bị đính chính | Văn bản đính chính | ||
| Văn bản bị thay thế | Văn bản thay thế | ||
| Văn bản được dẫn chiếu | Văn bản căn cứ |
