TIÊU CHUẨN QUỐC GIA TCVN 4551:2009 VỀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI

Hiệu lực: Còn hiệu lực

TIÊU CHUẨN QUỐC GIA

TCVN 4551 : 2009

THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI

Applied statistics – Analysis of variances

Lời nói đầu

TCVN 4551 : 2009 thay thế cho TCVN 4551-1988;

TCVN 4551 : 2009 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN/TC 69 Ứng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố.

THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI

Applied statistics – Analysis of variances

1. Phạm vi áp dụng

Tiêu chuẩn này quy định các mô hình và phương pháp phân tích phương sai một nhân tố và hai nhân tố, các phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết thống kê và kết luận thống kê về sự thuần nhất của sản phẩm nhằm phân loại các sản phẩm không thuần nhất.

2. Khái niệm chung

2.1. Phân tích phương sai là một tập hợp các phương pháp thống kê nhằm kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các giá trị trung bình của một đại lượng nào đó trên cơ sở so sánh các giá trị trung bình của nó trong k mẫu ngẫu nhiên độc lập rút từ k tổng thể.

2.2. Đặc trưng cơ bản của phân tích phương sai là: k tổng thể chịu tác động bởi nhân tố A, ở tổng thể thứ j (j = 1, 2, … k) A nhận giá trị không đổi A_j.

2.2.1. Giá trị A_j được gọi là mức của nhân tố A và thường là giá trị định tính.

Số mức khác nhau của nhân tố A là hữu hạn.

Hai tổng thể khác nhau ứng với hai mức khác nhau của nhân tố A.

2.2.2. Nhân tố A có thể là đơn (một chiều) hay bội (nhiều chiều) dưới dạng tổ hợp của một số nhân tố đơn, tức là A = B x C x … x G. Tùy theo số chiều của nhân tố mà ta có phân tích phương sai một nhân tố, hai nhân tố, ba nhân tố…

Hai nhân tố A và B là có tương tác (ký hiệu A x B) nếu như trong bố trí thí nghiệm có mọi tổ hợp có thể có của các mức của hai nhân tố.

Tiêu chuẩn này chỉ đề cập đến mô hình phân tích phương sai một nhân tố hay hai nhân tố có tương tác.

2.3. Đại lượng Y đo được trong các mẫu rút từ các tổng thể là biến ngẫu nhiên một chiều, các giá trị quan trắc về đại lượng Y được đo với cùng một độ chính xác.

2.4. Các số liệu để tiến hành phân tích phương sai được biểu diễn dưới dạng Bảng 1.

Bảng 1

Mức của nhân tố	A₁	A₂ …	A_i …	A_k
Giá trị của Y trong k mẫu	Y₁₁	Y₂₁	Y_i₁	Y_k₁
	Y₁₂	Y₂₂	Y_i₂	Y_k₂
	Y_1j	Y_2j	Y_ij	Y_kj

trong đó: k là số các tổng thể;

n₁, n₂,… n_k là các cỡ mẫu tương ứng rút từ tổng thể thứ 1, 2,… k,

Y_ij là giá trị đo được thứ j của Y trong mẫu rút từ tổng thể thứ i.

2.5. Các giá trị Y_i₁, Y_i₂, … trong mỗi một cột ứng với một mẫu và là độc lập với nhau (i = 1, 2, …., k).

2.6. Các phương pháp xử lý số liệu trong Bảng 1 phụ thuộc vào phân bố của Y.

2.6.1. Các phương pháp phân tích phương sai tham số (xem Điều 3) đòi hỏi giả thuyết Y có phân bố chuẩn.

2.6.2. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số (xem Điều 4) không đòi hỏi giả thuyết Y_i₁, Y_i₂, … có phân bố chuẩn.

2.7. Giả thuyết “không” H₀ phải kiểm nghiệm trong phân tích phương sai có dạng sau:

H₀ : E(Y₁) = E (Y₂) = … = E (Y_k) (1)

Giả thuyết này có nghĩa là các mức A_j của nhân tố A không có ảnh hưởng gì đến các giá trị trung bình trong các tổng thể riêng biệt, nói khác đi các giá trị trung bình đó bằng nhau.

H₁ là đối thuyết của H₀ nếu H₁ đúng thì nhân tố A có ảnh hưởng đến Y.

Khi bác bỏ H₀, phải tiến hành thêm phân tích phụ nhằm phát hiện ảnh hưởng của nhân tố A đến các giá trị của Y.

2.8. Phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết H₀ còn phụ thuộc vào sự bằng nhau của các phương sai. Trước khi kiểm nghiệm H₀, phải kiểm nghiệm giả thuyết phụ H₀‘ về sự bằng nhau của phương sai:

H₀‘: D (Y₁) = D (Y₂) = … = D (Y_k) (2)

Đối thuyết:

H₁‘ : |D(Y_i) – D (Y_j)| > 0

2.9. Sơ đồ chung phân tích phương sai và ví dụ minh họa được cho trong Phụ lục A và Phụ lục B tương ứng.

3. Phương pháp phân tích phương sai tham số

3.1. Phân tích phương sai một nhân tố

3.1.1. Mô hình phân tích phương sai một nhân tố

Nhân tố A có k mức A₁, A₂, … A_k tương ứng với k tổng thể. Mô hình có dạng sau:

Y_ij = m + a_i + e_ij(3)

trong đó: m là giá trị trung bình chung của Y;

a_i là hiệu quả của mức A_i đối với Y;

e_ij là sai số ngẫu nhiên ứng với giá trị quan trắc;

Y_ij với i = 1 … k; j = 1…. n_i.

3.1.1.1. Điều kiện áp dụng của mô hình: các e_ij là độc lập, có phân bố chuẩn với trung bình bằng 0.

3.1.1.2. Phát biểu giả thuyết:

Giả thuyết có dạng:

H₀ : a₁ = a₂ = … = a_k = 0 (4)

tức là các mức của A không có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.

Đối thuyết:

H₁: không phải tất cả các a₁, a₂, …, a_k bằng 0 (5)

tức là các mức của nhân tố A có ảnh hưởng đến các trung bình của Y.

3.1.2. Các bước tiến hành khi phân tích phương sai một nhân tố

3.1.2.1. Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai

3.1.2.1.1. Dùng quy tắc Bartlett nếu k > 2

1) Tính các giá trị

i = 1, 2, …, k (6)

2) Đặt

(7)

3) Tính các giá trị

(8)

(9)

4) Tính thống kê

(10)

trong đó

(11)

5) Chọn mức ý nghĩa a (thường lấy a = 0,05 hay a = 0,01). Sau đó xác định phân vị của phân bố c² với k – 1 bậc tự do.

6) So sánh giá trị c² tính được với giá trị tra bảng. Nếu:

chuyển sang 3.1.2.2.1

chuyển sang 3.1.2.2.2

3.1.2.1.2. Nếu k = 2, dùng quy tắc Fisher để so sánh hai phương sai. Nếu hai phương sai bằng nhau, có thể dùng quy tắc Student để so sánh hai giá trị trung bình.

3.1.2.2. Kiểm nghiệm các giả thuyết H₀

3.1.2.2.1. Trường hợp các phương sai bằng nhau

Sau khi đã khẳng định giả thuyết H₀‘ về sự bằng nhau của các phương sai, việc kiểm nghiệm giả thuyết H₀ được tiến hành như sau:

1) Tính tổng và trung bình ứng với từng tổng thể:

với i = 1, 2, …, k

(12)

Sau đó tính tổng chung và trung bình chung:

Y_.. = Y_1.+Y_2.+…+Y_k. (13)

2) Tính các tổng bình phương sau:

Tính tổng bình phương giữa các mức:

(14)

Tổng bình phương dư (sai số):

SS_dư = (15)

Tổng bình phương chung:

(16)

Để kiểm tra, có thể dùng hệ thức sau:

SS_dư = SS – SS_A

3) Các kết quả được viết dưới dạng bảng phân tích phương sai sau:

Bảng 2

Nguồn biến động	Tổng bình phương	Bậc tự do	Trung bình bình phương	Tỷ số F
Nhân tố	SS_A	n₁ = k – 1
Sai số	SS_dư	n₂ = n – k
Tổng chung	SS	n – 1	–	–

4) Chọn mức ý nghĩa a và xác định phân vị F₁_–_a (n₁, n₂) của phân bố F với n₁ và n₂ bậc tự do theo Bảng 5.

5) So sánh giá trị F tính được nhờ Bảng 2 với giá trị tra bảng F₁_–_a (n₁, n₂).

Nếu F ≤ F₁_–_a (n₁, n₂) thì chấp nhận H₀.

Nếu F > F₁_–_a (n₁, n₂) thì bác bỏ H₀. Điều này có nghĩa là nhân tố A thực dư có ảnh hưởng đến Y. Tiếp tục dùng các phương pháp so sánh đồng thời (xem 3.3) để tách ra những tổng thể thuần nhất.

3.1.2.2.2. Trường hợp các phương sai không bằng nhau:

Phương pháp Welch

Nếu các phương sai không bằng nhau, giả thuyết H₀ được kiểm nghiệm như sau:

1) Tính:

với i, j = 1, 2, … k (18)

với i = 1, 2, … k (19)

và các đại lượng trung gian sau:

(20)

(21)

(22)

2) Tính thống kê Welch:

(23)

3) Tính biểu thức:

(24)

4) Đặt:

F = , n₁ = k-1, n₁= [¦] – 1 (25)

trong đó: [¦] là phần nguyên của ¦.

5) Với F, n₁, và n₂ tính được, thực hiện tiếp các bước 4 và 5 của trường hợp các phương sai bằng nhau (3.1.2.2.1).

3.2. Phân tích phương sai hai nhân tố

3.2.1. Cách trình bày số liệu

Nhân tố A x B là bội (xem 2.2.2) gồm hai nhân tố đơn A và B.

A có k mức là A₁, A₂,… A_k

B có m mức là B₁, B₂, … B_m

n giá trị của Y ứng với mức (A_i, B_j) được ký hiệu là Y_ij₁, Y_i_j₂, …. Y_ijn.

Các giá trị của Y để tiến hành phân tích phương sai được trình bày trong Bảng 3.

Bảng 3

Các mức của nhân tố A	Các mức của nhân tố B
Các mức của nhân tố A	B₁	B₂	…	*B_m*
A₁	Y₁₁₁, Y₁₁₂,Y_11n	Y₁₂₁, Y₁₂₂,Y_12n	…	Y_1m1, Y_1m2,Y_1mn
A₂	Y₂₁₁,Y₂₁₂,Y_21n	Y₂₂₁,Y₂₂₂,Y_22n	…	Y_2m1, Y_2m2,Y_2mn
…	…	…	…	…
A_k	Y_k₁₁, Y_k₁₂,Y_k_1n	Y_k₂₁, Y_k₂₂,Y_k_2n	…	Y_km₁, Y_km₂,Y_kmn

3.2.2. Mọi ô của Bảng 3 được giả thuyết cùng có một số quan trắc đo được với cùng độ chính xác.

3.2.3. Mô hình phân tích phương sai hai nhân tố

3.2.3.1. Mô hình có dạng sau:

Y_ij_ℓ = m + a₁ + b_j + (ab)_ij + e_ij_ℓ (26)

với i = 1, 2,… k; j = 1, 2,… m; ℓ = 1, 2,… n

trong đó:

m – trung bình chung của đại lượng Y

a_i – hiệu quả của mức A_i của nhân tố A đối với các giá trị của Y

b_i – hiệu quả của mức B_j của nhân tố B đối với các giá trị của Y

(ab)_ij – hiệu quả hỗn hợp của mức (A_i, B_j) đối với các giá trị của Y

e_ij_ℓ – sai số ngẫu nhiên của quan sát Y_ij_ℓ

3.2.3.2. Các điều kiện áp dụng

1) Các e_ij_ℓ là độc lập, có phân bố chuẩn với trung bình 0 và phương sai như nhau.

2) Các nhân tố A và B có thể có hiệu quả âm hoặc dương đối với Y nhưng phải thỏa mãn hệ thức:

với mọi i

với mọi j

3.2.3.3. Phát biểu giả thuyết

Các giả thuyết được xem xét theo thứ tự sau:

1) Kiểm nghiệm sự tương tác giữa các nhân tố A và B

H_0,A_x_B : (ab)_ij = 0 với mọi i = 1, 2,…. k và j = 1, 2 ….., m

H_1,AxB: không phải mọi (ab)_ij = 0

2) Nếu giả thuyết H_0,AxB đúng tức là không có sự tương tác giữa A và B, cần kiểm nghiệm

a) Ảnh hưởng của nhân tố A đến các giá trị của Y. Cụ thể:

H_0,_A: a₁ = a₂ = … = a_k = 0

tức là các mức của A không ảnh hưởng đến các giá trị của Y.

H_1,A: không phải tất cả các a₁, a₂, …, a_k bằng 0

b) Ảnh hưởng của nhân tố B đến các giá trị của Y:

H_0,B: b₁ = b₂ = … = b_m = 0

tức là các mức của B không ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.

H_1,B: không phải tất cả các b₁, b₂, …., b_k đều bằng 0

3.2.4. Các bước tiến hành khi phân tích phương sai hai nhân tố

3.2.4.1. Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai của Y ứng với mọi tổng thể nhờ quy tắc Bartlett

– Đánh số lại các mẫu trong Bảng 3 bằng chỉ số i = 1, 2,… K = k x m theo thứ tự từ trái sang phải và từ trên xuống.

– Bên trong từng mẫu, đánh số các quan sát theo hai chỉ số Y_ij, trong đó j = 1, 2,… n.

– Áp dụng quy tắc Bartlett (3.1.2.1.1) cho các mẫu vừa được thành lập, trong đó n_i = n với mọi i = 1, 2, … K.

– Nếu giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai được chấp nhận thì chuyển sang 3.2.4.2.

– Nếu bác bỏ giả thuyết trên thì chuyển sang 3.2.4.3.

3.2.4.2. Kiểm nghiệm điều kiện ứng dụng

1) Tính các tổng:

với mọi i = 1, 2 …, k; j = 1, 2 …., m (27)

với mọi i = 1, 2 …, k (28)

với mọi j = 1, 2, …, m (29)

Tổng chung

(30)

2) Tính các tổng bình phương:

N = kmn (31)

(32)

(33)

(34)

SS_dư = (35)

(36)

3) Tính các trung bình bình phương

MS_dư = SS_dư(37)

4) Tính các tỷ số F:

(38)

5) Viết các đại lượng vừa tính thành bảng phân tích phương sai hai nhân tố như sau:

Bảng 4

Nguồn biến động	Tổng bình phương	Bậc tự do	Trung bình bình phương	Tỷ số F
Nhân tố A	SS_A	k – 1	MS_A	F_A
Nhân tố B	SS_B	m – 1	MS_B	F_B
Tương tác A x B	SS_AXB	(k – 1)(m – 1)	MS_AXB	F_AXB
Sai số	SS_dư	N – km	MS_dư	–
Tổng cộng	SS	N – 1	–	–

3.2.4.2.1. Kiểm nghiệm giả thuyết H_0,AXB

1) Chọn mức ý nghĩa a. Đặt n₁ = (k – 1)(m – 1), n₂ = N – km và tra Bảng 5 để tìm phân vị F_1-_a(n₁, n₂).

2) So sánh tỷ số F_A_X_B tính được với giá trị F₁_–_a(n₁, n₂)

– Nếu F_AxB < F₁_–_a(n₁, n₂) thì chấp nhận giả thuyết H_0,AxB, sau đó kiểm định giả thuyết H₀_,A và H_0,B (xem 3.2.4.2.2 và 3.2.4.2.3).

– Nếu F_AxB > F₁_–_a(n₁, n₂) thì bác bỏ H_0,AxB và kết luận là các tổ hợp của nhân tố AxB có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.

với i = 1, 2, …, k; j = 1, 2, …, m

Tiếp đó chuyển sang so sánh đồng thời (xem 3.3) để tách ra những nhóm tổng thể thuần nhất.

3.2.4.2.2. Kiểm nghiệm giả thuyết H_0,A

1) Đặt n₁ = k – 1, n₂ = N – km và xác định phân vị F_1-_a(n₁, n₂) theo Bảng 5 với mức ý nghĩa a.

2) So sánh trị số F_A tính được với giá trị tra bảng F_1-_a(n₁, n₂)

– Nếu F_A ≤ F_1-_a(n₁, n₂): chấp nhận giả thuyết H_0,A theo 3.2.3.3.2.

– Nếu F_A > F_1-_a(n₁, n₂): bác bỏ H_0,A và suy ra kết luận các mức của nhân tố A là có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.

với i = 1, 2, … k

Để tách các mẫu thuần nhất theo Y, ta phải thực hiện so sánh đồng thời (3.3).

3.2.4.2.3. Kiểm nghiệm giả thuyết H_0,_B

1) Đặt n₁= m – 1, n₂ = N – km và tra Bảng 5 để tìm phân vị F_1-_a(n₁, n₂) ứng với mức ý nghĩa a.

2) So sánh F_B tính được với giá trị tra bảng F_1-_a(n₁, n₂)

– Nếu F_B ≤ F_1-_a(n₁, n₂) ta chấp nhận H_0,B nhờ 3.2.3.3.3.

– Nếu F_B > F_1-_a(n₁, n₂) ta bác bỏ H₀_,B và kết luận các mức của nhân tố B có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.

với j = 1, 2, … m

Để phát hiện các mẫu thuần nhất theo Y cần phải thực hiện phép so sánh đồng thời (3.3).

3.2.4.3. Nếu giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai bị bác bỏ, phân tích phương sai hai nhân tố được chuyển thành phép phân tích phương sai một nhân tố với các phương sai không bằng nhau (3.1.2.2.2) với số mức K = kmn.

3.3. So sánh đồng thời

3.3.1. Trường hợp các phương sai bằng nhau

Phương pháp Student – Newman – Keuls

Cần thực hiện các bước như sau:

1) Sắp xếp các trung bình mẫu , theo thứ tự tăng dần và đánh số lại các tổng thể theo chỉ số của dãy mới thu được:

Ở đây:

cho trường hợp phân tích một nhân tố (ℓ = 1, 2, …, k);

cho trường hợp phân tích hai nhân tố có tương tác (ℓ = 1, 2, …, K = k x m);

cho trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố A (ℓ = 1, 2, …, K = k);

cho trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố B (ℓ = 1, 2, …., K = m).

2) Tính đại lượng:

(39)

trong đó:

(40)

với n_ℓ là số quan sát trong nhóm thứ ℓ

Ở đây:

n_ℓ = n_i trong trường hợp phân tích một nhân tố;

n_ℓ = n trong trường hợp phân tích hai nhân tố có tương tác;

n_ℓ = n x m trong trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố A;

n_ℓ = k x n trong trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố B.

3) Với mức ý nghĩa a (thường a = 0,1; a = 0,05; a = 0,01), tra Bảng 6 để tìm R (a,n₃,n₄) phân vị trên của phân bố của độ rộng đã được Student hóa trong đó n₃ = 2, 3, …, k; n₄ là số bậc tự do của tổng các bình phương dư.

Đặt M = K

4) Tính giá trị của thống kê:

(41)

với i = 1, 2, …., M – 1.

5) So sánh giá trị SR(M,i) với giá trị tới hạn R (a, M – i + 1, n₄) với i = 1, 2, …, M – 1.

Giả sử:

I_M = max {i, SR(M,i) ≥ R(a, M – i + 1, n₄)} (42)

tức I_M là chỉ số i lớn nhất sao cho thống kê SR(M,i) vượt qua phân vị R (a, M – i + 1, n₄).

Các tổng thể còn lại với các chỉ số lớn hơn I_M cho ta:

SR(M,i) < R(a, M – i + 1, n₄) (43)

i = I_M + 1, I_M + 2, …, M

Từ đó suy ra trên các tổng thể với các chỉ số I_M + 1, I_M + 2, …, M giá trị trung bình của Y không khác nhau.

6) Sau khi tách các tổng thể thuần nhất I_M + 1, I_M + 2, …, M thành một nhóm, đặt M = I_M và tiếp tục tìm các nhóm tổng thể thuần nhất bằng cách lặp lại bước 4 và 5 của 3.3.1 cho những tổng thể còn lại 1, 2, … I_M cho đến khi phát hiện đầy đủ tất cả các nhóm thuần nhất.

CHÚ THÍCH: Quy tắc này được thực hiện với các nhóm tổng thể thuần nhất và rời nhau.

3.3.2. Trường hợp phương sai không bằng nhau

Quy tắc Dunnett so sánh các cặp trung bình có thể có:

1) Chọn mức ý nghĩa a (a = 0,10; a = 0,05 hay a = 0,01). Tra Bảng 6 với i = 1, 2 …, k để tìm phân vị trên R (a, k, n_i – 1).

2) Với mọi cặp i j, tính:

(44)

trong đó , được tính bằng công thức (19).

3) Xác định các giới hạn:

;

đó là giới hạn tin cậy của hiệu a_i – a_j.

4) Nếu g_i_j < 0 và > 0 thì kết luận nhóm có chỉ số i không khác nhóm có chỉ số j. Xét tiếp cặp chỉ số mới (i, j) và lặp lại mọi thủ tục như đối với cặp (i, j).

CHÚ THÍCH: Quy tắc trên được thực hiện với các nhóm tổng thể thuần nhất và rời nhau.

4. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số

4.1. Phạm vi ứng dụng

Nếu giả thuyết phân bố chuẩn của Y không được thỏa mãn (xem 2.6) thì phải dùng các phương pháp của mục này. Mô hình được giả thuyết là một nhân tố. Với mô hình nhiều nhân tố cần được đưa về mô hình một nhân tố như đã chỉ ra trong 3.2.2.2. Các số liệu cũng được biểu diễn dưới dạng Bảng 1. Mọi ký hiệu vẫn được giữ nguyên.

4.2. Mô hình một nhân tố

Như trong 3.1.1

4.2.1. Điều kiện áp dụng

Mọi e_ij là độc lập và được lấy ra từ cùng một tổng thể.

4.2.2. Phát biểu giả thuyết

Như trong 3.1.1.2.

4.2.3. Các bước tiến hành

4.2.3.1. Kiểm tra sự bằng nhau giữa các phương sai của đại lượng Y theo mọi mẫu nhờ quy tắc Brown – Forsythe

1) Sắp xếp các quan sát Y_i1, Y_i2, …, theo thứ tự tăng:

(46)

Tính trung vị mẫu:

nếu n_i chẵn (47a)

nếu n_i lẻ (47b)

2) Tính giá trị tuyệt đối của các hiệu số:

với mọi i = 1, …, k; j = 1, …, n_i (48)

3) Tính các trung bình:

i = 1, 2, …, k (49)

(50)

trong đó:

4) Tính giá trị của thống kê Brovvn – Forsythe:

(51)

5) Đặt n₁ = k – 1, n₂ = N – k. Với mức ý nghĩa a, tra bảng để tìm điểm phân vị F_1-_a (n₁, n₂) của phân bố F.

6) So sánh giá trị W₀ vừa tính với F_1-_a (n₁, n₂).

– Nếu W₀ ≤ F_1-_a (n₁, n₂) ta chấp nhận giả thuyết về tính thuần nhất của e_ij và chuyển sang 4.2.3.2.

– Nếu W₀ > F_1-_a (n₁, n₂) ta kết luận điều kiện áp dụng của 4.2.1 không được thỏa mãn.

4.2.3.2. Quy tắc Kruskal – Wallis để kiểm nghiệm giả thuyết cơ bản

1) Sắp xếp tất cả quan sát (Bảng 1) theo thứ tự tăng dần:

Y₍₁₎ ≤ Y₍₂₎ ≤ … ≤ Y_(N) (52)

Nếu có hai (hay nhiều) quan sát có giá trị trùng nhau thì gán cho chúng cùng một hạng bằng tổng các chỉ số đó chia cho các quan sát trùng nhau. Ví dụ nếu Y₍₇₎ = Y₍₈₎ = Y₍₉₎ thì chúng đều được gán hạng

2) Ký hiệu r_i_j là hạng của quan sát Y_ij trong cách sắp xếp hạng trên.

3) Với i = 1, 2, …, k, đặt:

; (53)

4) Tính thống kê:

(54a)

nếu các quan sát không trùng nhau, hoặc thống kê:

(54b)

nếu có các quan sát trùng nhau.

trong đó: g – số nhóm các quan sát trùng nhau;

t_j – số các hạng giống nhau trong nhóm thứ j.

5) Chọn mức ý nghĩa a (a = 0,1; 0,05 hay 0,01)

– Nếu k = 3 (có 3 tổng thể cần so sánh) và với cỡ mẫu nhỏ (mỗi một trong các số n₁, n₂, n₃ không vượt quá 5). Ta dùng Bảng 7 để xác định phân vị h_a_,_k (n₁, n₂, n₃).

Đặt h₂ = h_a_{, k} (n₁, n₂, n₃) và chuyển sang 6).

CHÚ THÍCH: Bảng 7 cho các giá trị tới hạn h_a_{, n} (n₁, n₂, n₃) cho trường hợp n₁ ≤ n₂ ≤ n₃. Nếu thứ tự này không được thực hiện, cần phải đánh số lại các mẫu sao cho n₁≤ n₂ ≤ n₃. Việc đánh số lại các mẫu không ảnh hưởng đến h.

– Nếu cỡ mẫu lớn, tra phân vị của phân bố c² với k – 1 bậc tự do. Đặt

6) So sánh giá trị tính được h (hay h’) với giá trị tới hạn h_a.

– Nếu h ≤ h_a. chấp nhận giả thuyết H₀ về sự không sai khác giữa các tổng thể.

– Nếu h > h_a: bác bỏ H₀ và suy ra kết luận các mức của nhân tố A có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.

4.3. So sánh đồng thời

Các bước cụ thể như sau:

– Sắp xếp các giá trị R_i theo thứ tự tăng dần:

R₍₁₎ ≤ R₍₂₎ ≤ … ≤ R_(k) (55)

và đánh số lại các tổng thể theo thứ tự hạng của chúng.

– Nếu mọi cỡ mẫu bằng nhau, tức là n₁ = n₂ = … = n_k = n thì chuyển sang 4.3.1. Trường hợp ngược lại chuyển sang 4.3.2.

4.3.1. Trường hợp các cỡ mẫu bằng nhau

4.3.1.1. Quy tắc Kruskal – Wallis (khi cỡ mẫu nhỏ)

1) Chọn mức ý nghĩa a. Với k, n và a, tra Bảng 8 để tìm giá trị tới hạn y (a, k, n). Đặt M = k.

2) So sánh hiệu số

R_(M) – R₍_i₎ (i = 1, 2, …, M – 1) với giá trị tới hạn y (a, k, n).

Giả sử:

I_M = max {i : R_(M) – R_(i) ≥ y (a, k, n)} (56)

I_M bằng chỉ số của tổng thể sao cho với các tổng thể tiếp sau đó thực hiện bất đẳng thức:

i = 1, 2, …, M – I_M(57)

Từ đó suy ra rằng: Các tổng thể với các chỉ số I_M + 1, I_M + 2, …, M là không khác nhau và các giá trị của các mức của A không có ảnh hưởng gì đến giá trị trung bình của Y.

3) Sau khi tách nhóm các tổng thể thuần nhất I_M + 1, I_M + 2, …, M, tiếp tục so sánh các hiệu , i = 1, 2, …, I_M – 1 với giá trị tới hạn y (a, k, n). Đặt M = I_M và chuyển sang thuật toán ở 2) cho đến khi phát hiện đầy đủ mọi nhóm các tổng thể thuần nhất.

4.3.1.2. Quy tắc tiệm cận (trường hợp các mẫu lớn)

Nếu cỡ mẫu vượt ra khỏi giới hạn của Bảng 8 thì phải dùng phương pháp tiệm cận.

1) Với mức ý nghĩa a đã chọn và với số nhóm k, cần tính q_a (k) nhờ Bảng 9.

2) Xác định giá trị tới hạn:

(58)

3) Tiếp tục các bước 2 và 3 giống như trường hợp 4.3.1.1.

4.3.2. Trường hợp cỡ mẫu không bằng nhau

Các bước tiến hành

– Tính hạng trung bình

– Sắp xếp các hạng trung bình R_i. theo thứ tự tăng dần:

R_(1.) ≤ R_(2.) ≤ … ≤ R_(k.) (59)

và đánh số lại các tổng thể theo thứ tự đã sắp xếp của hạng trung bình.

4.3.2.1. Trường hợp cỡ mẫu nhỏ:

1) Cho trước mức ý nghĩa a, k và các cỡ mẫu (n₁, n₂, n₃) tra Bảng 7 để tìm phân vị h_a_,_k (n₁, n₂, n₃).

2) Chọn M = k và tính giá trị tới hạn

(60)

với mọi i = 1, 2, …, M.

3) So sánh hiệu số R_(M.) – R_(i.) với các giá trị tới hạn Y_M,i với mọi i = 1, 2, …, M – 1. Giả sử:

I_M = max {i: R_(M.) – R_(i.) ≥ Y_M,i} (61)

I_M là chỉ số của tổng thể sao cho với các tổng thể tiếp đó bắt đầu thực hiện các bất đẳng thức ngược:

(i = 1, 2, …, M – I_M) (62)

Từ đó suy ra, các tổng thể với các chỉ số I_M + 1, I_M + 2, …, M là không khác nhau theo Y.

4) Sau khi tách nhóm những tổng thể không khác nhau với các chỉ số I_M+1, I_M+2, …, M, đặt M = l_M rồi tiếp tục các bước 2) và 3) của điều này cho các tổng thể còn lại cho đến khi tách được hoàn toàn các nhóm gồm tổng thể thuần nhất theo Y.

4.3.2.2. Trường hợp các mẫu lớn

Đối với những trường hợp không gặp trong Bảng 7 và các n_i > 5, cần dùng những phương pháp tiệm cận.

1) Với mức ý nghĩa a đã chọn, tính

Dùng Bảng 10 để tra phân vị U_p của phân bố chuẩn. Đặt M = k.

2) Tính giá trị tới hạn:

(63)

với mọi i = 1, 2, …, M.

3) Tiếp tục các bước 3 và 4 của trường hợp 4.3.2.1. Sau khi tách các nhóm tổng thể không khác biệt, việc so sánh tiếp theo được đưa vào giá trị tới hạn cho bởi công thức (63) (xem các chú thích trong 3.3.1 và 3.3.2).

Bảng 5 – Phân vị của phân bố F

P {F > F₁_–_a (n₁, n₂)} = a

1) a = 0,05; 1 – a = 0,95

n₂	n₁
n₂	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	161	200	216	225	230	234	237	239	241	242
2	18,5	19,0	19,2	19,2	1,93	19,3	19,4	19,4	19,4	19,4
3	10,1	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85
12	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75
13	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65	2,60
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59	2,54
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,61	2,55	2,49	2,45
18	4,41	3,55	3,16	293	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41
19	4,38	3,52	313	2,90	2,74	2,63	2,54	2,48	2,42	2,38
20	4,35	3,49	310	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39	2,35
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42	2,37	2,32
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,40	2,34	2,30
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,46	2,37	2,32	2,27
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,42	2,36	2,30	2,25
25	4,24	3,39	2,99	2,76	2,60	2,49	2,40	2,34	2,28	2,24
26	4,23	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	2,22
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,31	2,25	2,20
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29	2,24	2,19
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,55	2,43	2,35	2,28	2,22	2,18
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21	2,16
34	4,13	3,28	2,88	2,65	2,49	2,38	2,29	2,23	2,17	2,12
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,08
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,20	2,13	2,07	2,03
70	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,14	2,07	2,02	1,97
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,31	2,19	2,10	2,03	1,97	1,93
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	2,06	1,98	1,93	1,88
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,12	2,03	1,96	1,90	1,85
¥	3,84	3,00	2,60	2,37	2,21	2,10	2,01	1,94	1,88	1,83

Bảng 5 (tiếp theo)

1) a = 0,05; 1 – a = 0,95

n₂	n₁
n₂	12	14	16	18	20	24	30	40	60	100	¥
1	244	245	246	247	248	249	250	251	252	253	254
2	19,4	19,4	19,4	19,4	19,4	19,5	19,5	19,5	19,5	19,5	19,5
3	8,74	8,71	8,69	8,67	8,66	8,64	8,62	8,59	8,57	8,55	8,53
4	5,91	5,87	5,84	5,82	5,80	5,77	5,75	5,72	5,69	5,66	5,63
5	4,68	4,64	4,60	4,58	4,56	4,53	4,50	4,46	4,43	4,41	4,37
6	4,00	3,96	3,92	3,90	3,87	3,84	3,81	3,77	3,74	3,71	3,67
7	3,57	3,53	3,49	3,47	3,44	3,41	3,38	3,34	3,30	3,27	3,23
8	3,28	3,24	3,20	3,17	3,15	3,12	3,08	3,04	3,01	2,97	2,93
9	3,07	3,03	2,99	2,96	2,94	2,90	2,86	2,83	2,79	2,76	2,71
10	2,91	2,86	2,83	2,80	2,77	2,74	2,70	2,66	2,62	2,59	2,54
11	2,79	2,74	2,70	2,67	2,65	2,61	2,57	2,53	2,49	2,46	2,40
12	2,69	2,64	2,60	2,57	2,54	2,51	2,47	2,43	2,38	2,35	2,30
13	2,60	2,55	2,51	2,48	2,46	2,42	2,38	2,34	2,30	2,26	2,21
14	2,53	2,43	2,44	2,41	2,39	2,35	2,31	2,27	2,22	2,19	2,13
15	2,48	2,42	2,38	2,35	2,33	2,29	2,25	2,20	2,16	2,12	2,07
16	2,42	2,37	2,33	2,30	2,28	2,24	2,19	2,15	2,11	2,07	2,01
17	2,38	2,33	2,29	2,26	2,23	2,19	2,15	2,10	2,06	20,2	1,96
18	2,34	2,29	2,25	2,22	2,19	2,15	2,11	2,06	2,02	1,98	1,92
19	2,31	2,26	2,21	2,18	2,16	2,11	2,07	2,03	1,98	1,94	1,88
20	2,28	2,22	2,18	2,15	2,12	2,08	2,04	1,99	1,95	1,91	1,84
21	2,25	2,20	2,16	2,12	2,10	2,05	2,01	1,96	1,92	1,88	1,81
22	2,23	2,17	2,13	2,10	2,07	2,03	1,98	1,94	1,89	1,85	1,78
23	2,20	2,15	2,11	2,07	2,05	2,00	1,96	1,91	1,86	1,82	1,76
24	2,18	2,13	2,09	2,05	2,03	1,98	1,94	1,89	1,84	1,80	1,73
25	2,16	2,11	2,07	2,04	2,01	1,96	1,92	1,87	1,82	1,78	1,71
26	2,15	2,09	2,05	2,02	1,99	1,95	1,90	1,85	1,80	1,76	1,69
27	2,13	2,08	2,04	2,00	1,97	1,93	1,88	1,84	1,79	1,74	1,67
28	2,12	1,06	2,02	1,99	1,96	1,91	1,87	1,82	1,77	1,73	1,65
29	2,10	2,05	2,01	1,97	1,94	1,90	1,85	1,81	1,75	1,71	1,64
30	2,09	2,04	1,99	1,96	1,93	1,89	1,84	1,79	1,74	1,70	1,62
34	2,05	1,99	1,95	1,92	1,89	1,84	1,80	1,75	1,69	1,65	1,57
40	2,00	1,95	1,90	1,87	1,84	1,79	1,74	1,69	1,34	1,59	1,51
50	1,95	1,89	1,85	1,81	1,78	1,74	1,69	1,63	1,58	1,52	1,44
70	1,89	1,84	1,79	1,75	1,72	1,67	1,62	1,57	1,50	1,45	1,35
100	1,85	1,79	1,75	1,71	1,68	1,63	1,57	1,52	1,45	1,39	1,28
200	1,80	1,74	1,69	1,66	1,62	1,57	1,52	1,46	1,39	1,32	1,19
500	1,77	1,71	1,66	1,62	1,59	1,54	1,48	1,42	1,34	1,28	1,11
¥	1,75	1,69	1,64	1,60	1,57	1,52	1,46	1,39	1,32	1,24	1,00

Bảng 5 (tiếp theo)

2) a = 0,01; 1 – a = 0,99

n₂	n₁
n₂	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	4050	5000	5400	5630	5730	5830	5930	7980	6020	6060
2	98,5	99,0	99,2	99,2	99,3	99,3	99,4	99,4	99,4	99,4
3	34,1	30,8	29,5	28,7	28,2	27,9	27,7	27,5	27,3	27,2
4	21,2	18,0	16,7	16,0	15,5	15,2	15,0	14,8	14,7	14,5
5	16,3	13,3	12,1	11,4	11,0	10,7	10,5	10,3	10,2	10 1
6	13,7	10,9	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	7,87
7	12,2	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	6,99	6,84	6,72	6,62
8	11,3	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,18	6,03	5,91	5,81
9	10,6	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,61	5,47	5,35	5,26
10	10,0	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,20	5,06	4,94	4,85
11	9,65	7,21	6,22	5,67	5,32	5,07	4,89	4,30	4,63	4,54
12	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,64	4,50	4,39	4,30
13	9,07	6,70	5,74	5,21	4,86	4,62	4,44	4,30	4,19	4,10
14	8,86	6,51	5,56	5,04	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03	3,94
15	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,80
16	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69
17	8,40	6,11	5,18	4,67	4,34	4,10	3,93	3,79	3,68	3,59
18	8,29	6,01	5,09	4,58	4,25	4,01	3,84	3,71	3,60	3,51
19	8,18	5,93	5,01	450	4,17	3,94	3,77	3,63	3,52	3,43
20	8,10	5,85	4,94	4,43	4,10	3,87	3,70	3,56	3,46	3,37
21	8,02	5,78	4,87	437	4,04	3,81	3,64	3,51	3,40	3,31
22	7,95	5,72	4,82	4,31	3,99	3,76	3,59	3,45	3,35	3,26
23	7,88	5,66	4,76	4,26	3,94	3,71	3,54	3,41	3,30	3,21
24	7,82	5,61	4,72	4,22	3,90	3,67	3,50	3,36	3,26	3,17
25	7,77	5,57	4,68	4,18	3,86	3,63	3,46	3,32	3,22	3,13
26	7,72	5,53	4,46	4,14	3,82	3,59	3,42	3,29	3,18	3,09
27	7,68	5,49	4,60	4,11	3,78	3,56	3,39	3,26	3,15	3,06
28	7,64	5,45	4,57	4,07	3,75	3,53	3,36	3,23	3,12	3,03
29	7,60	5,42	4,54	4,04	3,73	3,50	3,33	3,20	3,09	3,00
30	7,56	5,39	4,51	4,02	3,70	3,47	3,30	3,17	3,07	2,98
34	7,44	5,29	4,42	3,93	3,61	3,39	3,22	3,09	2,98	2,89
40	7,31	5,18	4,31	3,83	3,51	3,29	3,12	2,99	2,89	2,80
50	7,17	5,06	4,20	3,72	3,41	3,19	3,02	2,89	2,79	2,70
70	7,01	4,92	4,08	3,60	3,29	3,07	2,91	2,78	2,67	2,59
100	6,90	4,82	3,98	3,51	3,21	2,99	2,82	2,69	2,59	2,50
200	6,76	4,71	3,88	3,41	3,11	2,89	2,73	2,60	2,50	2,41
500	6,69	4,65	3,82	3,36	3,05	2,84	2,68	2,55	2,44	2,36
¥	6,63	4,61	3,78	3,32	3,02	2,80	2,64	2,52	2,41	2,32

Bảng 5 (kết thúc)

2) a = 0,01; 1 – a = 0,99

n₂	n₁
n₂	12	14	16	18	20	24	30	40	60	100	¥
1	6110	6140	6170	6190	6210	6230	6260	6290	6310	6330	6370
2	99,4	99,4	99,4	99,4	99,4	99,5	99,5	99,5	99,5	99,5	99,5
3	27,1	26,9	26,8	26,8	26,7	26,6	26,5	26,4	26,3	26,2	26,1
4	14,4	14,2	14,2	14,1	14,0	13,9	13,8	13,7	13,7	13,6	13,5
5	9,89	9,77	9,68	9,61	9,55	9,47	9,38	9,22	9,20	9,13	9,02
6	7,72	7,60	7,52	7,45	7,40	7,31	7,23	7,14	7,06	6,99	6,88
7	6,47	6,36	6,27	6,21	6,16	6,07	5,99	5,91	5,82	5,75	5,65
8	5,67	5,56	5,48	5,41	5,36	5,28	5,20	5,12	5,03	4,96	4,86
9	5,11	5,00	4,92	4,86	4,81	4,73	4,65	4,57	4,48	4,42	4,31
10	4,71	4,60	4,55	4,46	4,41	4,33	4,25	4,17	4,08	4,01	3,91
11	4,40	4,29	4,21	4,15	4,10	4,02	3,94	3,86	3,78	3,71	3,60
12	4,16	4,05	3,97	3,91	3,86	3,78	3,70	3,62	3,54	3,47	3,36
13	3,96	3,86	3,78	3,72	3,66	3,59	3,51	3,43	3,34	3,27	3,17
14	3,80	3,70	3,62	3,56	3,51	3,43	3,35	3,27	3,18	3,11	3,00
15	3,67	3,56	3,49	3,42	3,37	3,29	3,21	3,13	3,05	2,98	2,87
16	3,55	3,45	3,37	3,31	3,26	3,18	3,10	3,02	2,93	2,86	2,75
17	3,46	3,35	3,27	3,21	3,16	3,08	3,00	2,92	2,83	2,76	2,65
18	3,37	3,27	3,19	3,13	3,08	3,00	2,92	2,84	2,75	2,68	2,57
19	3,30	3,19	3,12	3,05	3,00	2,92	2,84	2,67	2,67	2,60	2,49
20	3,23	3,13	3,05	2,99	2,94	2,86	2,78	2,69	2,61	2,54	2,42
21	3,17	3,07	2,99	2,93	2,88	2,80	2,72	2,64	2,55	2,48	2,36
22	3,12	3,02	2,94	2,88	2,83	2,75	2,67	2,58	2,50	2,42	2,31
23	3,07	2,97	2,89	2,83	2,78	2,70	2,62	2,54	2,45	2,37	2,26
24	3,03	2,93	2,85	2,79	2,74	2,66	2,58	2,49	2,40	2,33	2,21
25	2,99	2,89	2,81	2,75	2,70	2,62	2,54	2,45	2,36	2,29	2,17
26	2,96	2,86	2,78	2,72	2,66	2,58	2,50	2,42	2,33	2,25	2,13
27	2,93	2,82	2,75	2,68	2,63	2,55	2,47	2,38	2,29	2,22	2,10
28	2,90	2,79	2,72	2,65	2,60	2,52	2,44	2,35	2,26	2,19	2,06
29	2,87	2,77	2,69	2,63	2,57	2,49	2,41	2,33	2,23	2,16	2,03
30	2,84	2,74	2,66	2,60	2,55	2,47	2,39	2,30	2,21	2,13	2,01
34	2,76	2,66	2,58	2,51	2,46	2,38	2,30	2,21	2,12	2,04	1,91
40	2,66	2,56	2,48	2,42	2,37	2,29	2,20	2,11	2,02	1,94	1,80
50	2,56	2,46	2,38	2,32	2,27	2,18	2,10	2,01	1,91	1,82	1,68
70	2,45	2,35	2,27	2,20	2,15	2,07	1,98	1,89	1,78	1,70	1,54
100	2,37	2,26	2,19	2,12	2,07	1,98	1,89	1,80	1,69	1,60	1,43
200	2,27	2,17	2,09	2,02	1,97	1,89	1,79	1,69	1,58	1,48	1,28
500	2,22	2,12	2,04	1,97	1,92	1,83	1,74	1,63	1,52	1,41	1,16
¥	2,18	2,08	2,00	1,93	1,88	1,79	1,70	1,59	1,47	1,36	1,00

Bảng 6 – Phân vị của phân bố độ rộng được Student hóa

R(a, n₃, n₄); P {SR ≥ R(a, n₃, n₄)} = a

1) a = 0,10

n₄	n₃
n₄	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	6,93	13,44	16,36	18,49	20,15	21,51	22,64	24,62	25,49
2	4,13	5,73	6,77	7,54	8,14	8,63	9,05	9,41	10,72
3	3,33	4,47	4,20	5,74	6,16	6,51	6,81	7,06	7,29
4	3,01	3,98	4,50	5,03	5,39	5,68	5,93	6,14	6,33
5	2,85	3,72	4,26	4,66	4,93	5,24	5,46	5,65	5,82
6	2,76	3,56	4,07	4,44	4,73	4,97	5,17	5,34	5,50
7	2,68	3,45	3,93	4,28	4,55	4,78	4,97	5,14	5,28
8	2,63	3,37	3,83	4,17	4,43	4,65	4,83	4,99	5,13
9	2,59	3,32	3,76	4,08	4,34	4,54	4,72	4,87	5,01
10	2,56	3,27	3,70	4,02	4,26	4,47	4,64	4,78	4,91
11	2,54	3,23	3,66	3,95	4,20	4,40	4,57	4,71	4,84
12	2,52	3,20	3,62	3,92	4,16	4,35	4,51	4,65	4,78
13	2,50	3,18	3,59	3,83	4,12	4,30	4,46	4,60	4,72
14	2,49	3,16	3,56	3,85	4,08	4,27	4,42	4,56	4,68
15	2,48	3,14	3,54	3,83	4,05	4,23	4,39	4,52	4,64
16	2,47	3,12	3,52	3,80	4,03	4,21	4,36	4,49	4,61
17	2,46	3,11	3,50	3,78	4,00	4,18	4,33	4,46	4,58
18	2,45	3,10	3,49	3,77	3,98	4,16	4,31	4,44	4,55
19	2,45	3,09	3,47	3,75	3,97	4,14	4,29	4,42	4,53
20	2,44	3,08	3,46	3,74	3,95	4,12	4,27	4,40	4,51
24	2,42	3,05	3,42	3,69	3,90	4,07	4,21	4,34	4,44
30	2,40	3,02	3.39	3,65	3,85	4,02	4,16	4,28	4,38
40	2,38	2,99	3,35	3,60	3,80	3,96	4,10	4,21	4,32
60	2,36	2,96	3,31	3,58	3,75	3,91	4,04	4,16	4,25
120	2,34	2,93	3,28	3,52	3,71	3,86	3,99	4,10	4,19
¥	2,33	2,90	3,24	3,48	3,66	3,81	3,93	4,04	4,13

Bảng 6 (tiếp theo)

1) a = 0,10

n₄	n₃
n₄	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
1	25,24	25,92	26,54	27,10	27,62	28,10	28,54	28,96	29,35	29,71
2	10,01	10,26	10,49	10,70	10,80	11,07	11,24	11,39	11,54	11,68
3	7,49	7,67	7,83	7,98	8,12	8,25	8,37	8,48	8,58	8,68
4	6,49	6,65	6,78	6,91	7,02	7,13	7,23	7,33	7,41	7,50
5	5,97	6,10	6,22	6,34	6,44	6,54	6,63	6,71	6,79	6,86
6	5,64	5,76	5,87	5,98	6,07	6,16	6,25	6,32	6,40	6,47
7	5,41	5,53	5,64	5,74	5,83	5,91	5,99	6,06	6,13	6,19
8	5,25	5,36	5,46	5,56	5,64	5,72	5,80	5,87	5,93	6,00
9	5,13	5,23	5,33	5,42	5,51	5,58	5,66	5,72	5,79	5,85
10	5,03	5,13	5,23	5,32	5,40	5,47	5,54	5,61	5,67	5,73
11	4,95	5,05	5,15	5,23	5,31	5,38	5,45	5,51	5,57	5,63
12	4,89	4,99	5,08	5,16	5,24	5,31	5,37	5,44	5,49	5,55
13	4,83	4,93	5,02	5,10	5,18	5,25	5,31	5,37	5,43	5,48
14	4,79	4,88	4,97	5,05	5,12	5,19	5,26	5,32	5,37	5,43
15	4,75	4,84	4,93	5,01	5,08	5,15	5,21	5,27	5,32	5,38
16	4,71	4,81	4,89	4,97	5,04	5,11	5,17	5,23	5,28	5,33
17	4,68	4,77	4,86	4,93	5,01	5,07	5,13	5,19	5,24	5,30
18	4,65	4,75	4,83	4,90	4,98	5,04	5,10	5,16	5,21	5,26
19	4,63	4,72	4,80	4,88	4,95	5,01	5,07	5,13	5,18	5,23
20	4,61	4,70	4,78	4,85	4,92	4,99	5,05	5,10	5,16	5,20
24	4,54	4,63	4,71	4,78	4,85	4,91	4,97	5,02	5,07	5,12
30	4,47	4,56	4,64	4,71	4,77	4,83	4,89	4,94	4,99	5,03
40	4,41	4,48	4,56	4,63	4,69	4,76	4,81	4,86	4,90	4,95
60	4,34	4,42	4,49	4,58	4,62	4,67	4,73	4,78	4,82	4,86
120	4,28	4,35	4,42	4,48	4,54	4,60	4,65	4,89	4,74	4,78
¥	4,21	4,28	4,35	4,41	4,47	4,52	4,57	4,61	4,65	4,69

Bảng 6 (tiếp theo)

2) a = 0,05

n₄	n₃
n₄	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	17,97	26,98	32,82	37,08	40,41	43,12	45,40	47,36	49,07
2	6,08	8,33	9,80	10,88	11,74	12,44	13,03	13,54	13,99
3	4,50	5,91	6,82	7,50	8,04	8,48	8,85	9,18	9,40
4	3,93	5,04	5,76	6,29	6,71	7,05	7,35	7,60	8,83
5	3,64	4,60	5,22	5,67	6,03	6,33	6,58	6,80	7,99
6	3,46	4,34	4,90	5,30	5,63	5,90	6,12	6,32	6,49
7	3,34	4,16	4,68	5,06	5,36	5,61	5,82	5,00	6,19
8	3,26	4,04	4,53	4,89	5,17	5,40	5,60	5,77	6,92
9	3,20	3,95	4,41	4,76	5,02	5,24	5,43	5,59	5,74
10	3,15	3,88	4,33	4,65	4,91	5,12	5,30	5,46	5,60
11	3,11	3,82	4,26	4,57	4,82	5,03	5,20	5,35	5,49
12	3,08	3,77	4,20	4,51	4,75	4,95	5,12	5,27	5,39
13	3,06	3,73	4,15	4,45	4,64	4,88	5,05	5,19	5,32
14	3,03	3,70	4,11	4,41	4,64	4,83	4,99	5,13	5,25
15	3,01	3,67	4,08	4,37	4,59	4,78	4,94	5,08	5,20
16	3,00	3,65	4,05	4,33	4,56	4,74	4,90	5,03	5,15
17	2,98	3,63	4,02	4,30	4,52	4,70	4,86	4,99	5,11
18	2,97	3,61	4,00	4,28	4,49	4,67	4,82	4,96	5,07
19	2,96	3,59	3,98	4,25	4,47	4,65	4,79	4,92	5,04
20	2,95	3,58	3,95	4,23	4,45	4,62	4,77	4,90	5,01
24	2,92	3,53	3,90	4,17	4,37	4,54	4,68	4,81	4,92
30	2,89	3,49	3,85	4,10	4,30	4,46	4,60	4,72	4,82
40	2,86	3,44	3,79	4,04	4,23	4,39	4,52	4,63	4,73
60	2,83	3,40	3,74	3,98	4,16	4,31	4,44	4,55	4,65
120	2,80	3,36	3,68	3,92	4,10	4,24	4,36	4,47	4,56
¥	2,77	3,31	3,63	3,86	4,03	4,17	4,29	4,39	4,47

Bảng 6 (tiếp theo)

2) a = 0,05

n₄	n₃
n₄	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
1	50,59	51,96	53,20	54,33	55,36	56,32	57,22	58,04	58,83	59,58
2	14,39	14,75	16,08	15,38	15,65	15,91	16,14	16,37	16,57	16,77
3	9,72	9,95	10,15	10,35	10,52	10,69	10,84	10,98	11,11	11,24
4	8,03	8,21	8,37	8,32	8,66	8,79	8,91	9,03	9,13	9,23
5	7,17	7,32	7,47	7,60	7,72	7,83	7,93	8,03	8,12	8,21
6	6,65	6,79	6,92	7,03	7,14	7,24	7,34	7,43	7,51	7,59
7	6,30	6,43	6,55	6,66	6,76	6,85	6,94	7,02	7,10	7,17
8	6,05	6,18	6,29	6,39	6,48	6,57	6,65	6,73	6,80	6,87
9	5,87	5,98	6,09	6,19	6,28	6,36	6,44	6,51	6,58	6,64
10	5,72	5,83	5,93	6,03	6,11	6,19	6,27	6,34	6,40	6,47
11	5,61	5,71	5,81	5,90	5,98	6,06	6,13	6,20	6,27	6,33
12	5,51	5,61	5,71	5,80	5,88	5,96	6,02	6,09	6,15	6,21
13	5,43	5,53	5,63	5,71	5,79	5,86	5,93	5,99	6,05	6,11
14	5,36	5,46	5,55	5,64	5,71	5,79	5,85	5,91	5,97	5,03
15	5,31	5,40	5,49	5,57	5,65	5,72	5,78	5,85	5,90	5,96
16	5,26	5,36	5,44	5,52	5,59	5,66	5,73	5,79	5,84	5,90
17	5,21	5,31	5,39	5,47	5,54	5,61	5,67	5,73	5,79	5,84
18	5,17	5,27	5,35	5,43	5,50	5,57	5,63	5,69	5,74	5,79
19	5,14	5,23	5,31	5,39	5,46	5,53	5,59	5,65	5,70	5,75
20	5,11	5,20	5,28	5,36	5,43	5,49	5,55	5,61	5,66	5,71
24	5,01	5,10	5,18	5,25	5,32	5,38	5,44	5,49	5,55	5,59
30	4,92	5,00	5,08	5,15	5,21	5,27	5,33	5,38	5,43	5,47
40	4,82	4,90	4,98	5,04	5,11	5,16	5,22	5,27	5,31	5,36
60	4,73	4,81	4,88	4,94	5,00	5,06	5,11	5,15	5,20	5,24
120	4,64	4,71	4,78	4,84	4,90	4,95	5,00	5,04	5,09	5,13
¥	4,55	4,62	4,68	4,74	4,80	4,86	4,89	4,93	4,97	5,01

Bảng 6 (tiếp theo)

3) a = 0,01

n₄	n₃
n₄	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	90,03	135,0	164,3	185,6	202,2	215,8	227,2	237,0	245,6
2	14,04	19,02	22,29	24,72	26,63	28,20	29,53	30,68	31,69
3	8,26	10,62	12,17	13,33	14,24	15,00	15,64	16,20	16,69
4	6,51	8,12	9,17	9,96	10,58	11,10	11,55	11,93	12,27
5	5,70	6,98	7,80	8,42	8,91	9,32	9,67	9,97	10,24
6	5,24	6,33	7,03	7,56	7,97	8,32	8,61	8,87	9,10
7	4,95	5,92	6,54	7,01	7,37	7,68	7,94	8,17	8,37
8	4,75	5,64	6,20	6,62	6,96	7,24	7,47	7,68	8,86
9	4,60	5,43	5,96	6,35	6,66	6,91	7,13	7,33	7,49
10	4,48	5,27	5,77	6,14	6,43	6,67	6,87	7,05	7,21
11	4,39	5,15	5,62	5,97	6,25	6,48	6,67	6,84	7,99
12	4,32	5,05	5,50	5,84	6,10	6,32	6,51	6,67	6,81
13	4,26	4,96	5,40	5,73	5,98	6,19	6,37	6,53	6,67
14	4,21	4,89	5,32	5,63	5,88	6,08	6,26	6,41	6,54
15	4,17	4,84	5,25	5,56	5,80	5,99	6,16	6,31	6,44
16	4,13	4,79	5,19	5,49	5,72	5,92	6,08	6,22	6.35
17	4,10	4,74	5,14	5,43	5,66	5,85	6,01	6,15	6,27
18	4,07	4,70	5,09	5,38	5,60	5,79	5,94	6,08	6,20
19	4,05	4,67	5,05	5,33	5,55	5,73	5,89	6,02	6,14
20	4,02	4,64	5,02	5,29	5,51	5,69	5,84	5,97	6,09
24	3,96	4,55	4,91	5,17	5.37	5,54	5,69	5,81	5,92
30	3,89	4,45	4,80	5,05	5,24	5,40	5,54	5,65	5,76
40	3,82	4,37	4,70	4,93	5,11	5,26	5,39	5,50	5,60
60	3,76	4,28	4,59	4,82	4,99	5,13	5,25	5,36	5,45
120	3,70	4,20	4,50	4,71	4,87	5,01	5,12	5,21	5,30
¥	3,64	4,12	4,40	4,60	4,76	4,88	4,99	5,08	5,16

Bảng 6 (kết thúc)

3) a = 0,01

n₄	n₃
n₄	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
1	253,2	260,0	266,2	271,8	277,0	281,8	286,3	290,4	291,3	298,0
2	32,59	33,40	34,13	34,81	35,43	36,00	36,53	37,03	37,50	37,95
3	17,13	17,53	17,89	18,22	18,52	18,81	19,07	19,32	19,55	19,75
4	12,57	12,84	13,09	13,32	13,53	13,73	13,91	14,08	14,24	14,40
5	10,48	10,70	10,89	11,08	11,24	11,40	11,55	11,68	11,81	11,93
6	9,30	9,48	9,65	9,81	9,95	10,08	10,21	10,32	10,43	10,54
7	8,55	8,71	8,86	9,00	9,12	9,24	9,36	9,48	9,55	9,65
8	8,03	8,18	8,31	8,44	8,55	8,66	8,76	8,85	8,94	9,03
9	7,65	7,78	7,91	8,03	8,13	8,23	8,33	8,41	8,49	8,57
10	7,36	7,49	7,60	7,71	7,81	7,91	7,99	8,08	8,15	8,23
11	7,13	7,25	7,36	7,46	7,56	7,65	7,73	7,81	7,88	7,95
12	6,94	7,06	7,17	7,26	7,36	7,44	7,52	7,59	7,66	7,73
13	6,79	6,90	7,01	7,10	7,19	7,27	7,325	7,42	7,48	7,55
14	6,66	6,77	6,87	6,96	7,05	7,13	7,20	7,27	7,33	7,39
15	6,55	6,66	6,76	6,84	6,93	7,00	7,07	7,14	7,20	7,26
16	6,46	6,56	6,66	6,74	6,82	6,90	6,97	7,03	7,09	7,15
17	6,38	6,48	6,57	6,66	6,73	6,81	6,87	6,94	7,00	7,05
18	6,31	6,41	6,50	6,58	6,65	6,73	6,79	6,85	6,91	6,97
19	6,25	6,34	6,43	6,51	6,58	6,65	6,72	6,78	6,84	6,89
20	6,19	6,28	6,37	6,45	6,52	6,59	6,63	6,71	6,77	6,82
24	6,02	6,11	6,19	6,26	6,33	6,39	6,45	6,51	6,54	6,61
30	5,85	5,93	6,01	6,08	6,14	6,20	6,26	6,31	6,38	6,41
40	5,69	5,76	5,83	5,90	5,96	6,02	6,07	6,12	6,16	6,21
60	5,53	5,60	5,67	5,73	5,78	5,84	5,89	5,93	5,97	6,01
120	5,37	5,44	5,50	5,58	5,61	5,66	5,71	5,75	5,79	5,83
¥	5,23	5,29	5,35	5,40	5,45	5,49	5,54	5,57	5,61	5,65

Bảng 7 – Phân vị của phân bố Kruskal – Wallis với 3 mẫu có cỡ không quá 5 (K = 3)

P {h ≤ h_a_,k (n₁, n₂, n₃)} = 1 – a

n₁	n₂	n₃	a			n₁	n₂	n₃	a
n₁	n₂	n₃	0,10	0,05	0,01	n₁	n₂	n₃	0,10	0,05	0,01
	2	2	4,57	–	–	5	3	1	4,01	4,96	–
3	2	2	4,50	4,71	–	5	3	2	4,65	5,25	6,82
3	3	2	4,55	5,36	–	5	3	3	4,53	5,34	6,98
3	3	3	4,62	5,60	7,20	5	4	1	3,98	4,98	6,95
4	2	2	4,37	5,33	–	5	4	2	4,54	5,27	7,11
4	3	2	4,51	5,44	6,44	5	4	3	4,54	5,63	7,44
4	3	3	4,70	5,72	6,74	5	4	4	4,61	5,61	7,76
4	4	1	4,16	4,96	6,66	5	5	1	4,10	5,12	7,30
4	4	2	4,55	5,45	7,03	5	5	2	4,50	5,33	7,33
4	4	3	4,54	5,59	7,14	5	5	3	4,54	5,70	7,57
4	4	4	4,65	5,69	7,65	5	5	4	4,52	5,66	7,82
5	2	2	4,37	5,16	6,53	5	5	5	4,56	5,78	7,98

Bảng 8 – Phân vị của phân bố tổng hạng Kruskal – Wallis

	2		3		4		5		6
K	*y(a, K, 2)*	a	*y(a, K, 3)*	a	*y(a, K, 4)*	a	*y(a, K, 5)*	a	*y(a, K, 6)*	a
3	8	.067	15	.064	24	.045	33	.048	43	.049
			16	.029	25	.031	35	.031	51	0.11
			17	.011	27	.011	39	.009
4	12	.029	22	.043	34	.049
			23	.023	36	.026
			24	.012	38	.012
5	15	.048	28	.060	44	.056
	16	.016	30	.023	46	.033
			32	.007	50	.010
6	19	.030	35	.055
	20	.010	37	.024
			39	.009
7	22	.056	42	.054
	23	.021	44	.026
	24	.007	46	.012
8	26	.041	49	.055
	28	.005	51	.029
			54	.010
9	29	.063
	30	.031
	31	.012
10	33	.050
	34	.025
	35	.009
11	37	.040
	38	.020
	39	.008
12	40	.062
	41	.020
	43	.006
13	44	.052
	45	.028
	46	.014
14	48	.044
	49	.024
	50	.012
15	52	.038
	54	.010

Bảng 9 – Phân vị của phân bố độ rộng của K biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn N (0,1)

K
K	0,0001	0,0005	0,001	0,005	0,01	0,025	0,05	0,10	0,20
2	5,502	4,923	4,654	3,970	3,643	3,170	2,772	2,326	1,812
3	5,864	5,316	5,063	4,424	4,120	3,682	3,314	2,902	2,424
4	6,083	5,553	5,309	4,694	4,403	3,984	3,633	3,240	2,784
5	6,240	5,722	5,484	4,886	4,603	4,197	3,858	3,478	3,037
6	6,362	5,853	5,619	5,033	4,757	4,361	4,030	3,661	3,232

7	6,461	5,960	5,730	5,154	4,885	4,494	4,170	3,808	3,289
8	6,546	6,050	5,823	5,255	4,987	4,605	4,286	3,931	3,520
9	6,618	6,127	5,903	5,341	5,078	4,700	4,387	4,037	3,632
10	6,682	6,196	5,973	5,418	5,157	4,784	4,474	4,129	3,730
11	6,739	6,257	6,036	5,485	5,227	4,858	4,552	4,211	3,817

12	6,791	6,311	6,092	5,546	5,290	4,925	4,622	4,285	3,895
13	6,837	6,361	6,144	5,602	5,348	4,985	4,685	4,351	3,966
14	6,880	6,407	6,191	5,652	5,400	5,041	4,743	4,412	4,030
15	6,920	6,449	6,234	5,699	5,448	5.092	4,796	4,468	4,089
16	6,957	6,488	6,274	5,742	5,493	5,139	4,845	4,519	4,144

17	6,991	6,525	6,312	5,783	5,535	5,183	4,891	4,568	4,195
18	7,023	6,559	6,347	5,840	5,574	5,224	4,934	4,612	4,242
19	7,054	6,591	6,380	5,856	5,611	5,262	4,974	4,654	4,287
20	7,082	6,621	6,411	5,889	5,645	5,299	5,012	4,694	4,329
22	7,135	6,677	6,469	5,951	5,709	5,365	5,081	4,767	4,405

24	7,183	6,727	6,520	6,006	5,766	5,425	5,144	4,832	4,475
26	7,226	6,773	6,568	6,057	5,818	5,480	5,201	4,892	4,475
28	7,266	6,816	6,611	6,103	5,866	5,530	5,253	4,947	4,595
30	7,303	6,855	6,651	6,146	5,911	5,577	5,301	4,997	4,648
32	7,337	6,891	6,689	6,186	5,952	5,620	5,246	5,004	4,697

34	7,370	6,925	6,723	6,223	5,990	5,660	5,388	5,087	4,743
36	7,400	6,957	6,756	6,258	6,026	5,698	5,427	5,128	4,786
38	7,428	6,987	6,787	6,291	6,060	5,733	5,463	5,166	4,826
40	7,455	7,015	6,818	6,322	6,092	5,766	5,498	5,202	4,864
50	7,571	7,137	6,941	6,454	6,228	5,909	5,646	5,357	5,026

60	7,664	7,235	7,041	6,561	6,338	6,023	5,764	5,480	5,155
70	7,741	7,317	7,124	6,649	6,429	6,118	5,863	5,582	5,262
80	7,808	7,387	7,196	6,725	6,507	6,199	5,947	5,669	5,353
90	7,866	7,448	7,259	6,792	6,575	6,270	6,020	5,745	5,433
100	7,918	7,502	7,314	6,850	6,636	6,333	6,085	5,812	5,503

Bảng 10 – Phân vị của phân bố chuẩn N (0,1)

P {N (0, 1) ≤ U_p) = 1 – p

p	U_p	p	U_p	p	U_p
0,10	1,281 55	0,009	2,365 62	0,000 05	3,890 59
0,095	1,310 58	0,008	2,408 92	0,000 01	4,264 89
0,090	1,340 76	0,007	2,457 26	0,000 005	4,417 17
0,085	1,372 20	0,006	2,512 14	0,000 001	4,753 42
0,080	1,405 07	0,005	2,575 83	0,000 000 5	4,891 64

0,075	1,439 53	0,004	2,652 07	0,000 000 1	5,199 34
0,070	1,475 79	0,003	2,747 78	0,000 000 05	5,326 72
0,065	1,514 10	0,002	2,878 16	0,000 000 01	5,612 00
0,060	1,554 77	0,001	3,090 23	0,000 000 005	5,730 73
0,055	1,598 19			0,000 000 001	5,997 81

0,050	1,644 85	0,000 9	3,121 39
0,045	1,695 40	0,000 8	3,155 91
0,040	1,750 69	0,000 7	3,194 65
0,035	1,811 91	0,000 6	3,238 88
0,030	1,880 79	0,000 5	3,290 53

0,025	1,959 96	0,000 4	3,352 79
0,020	2,053 75	0,000 3	3,431 61
0,015	2,170 09	0,000 2	3,540 08
0,010	2,326 35	0,000 1	3,719 02

Phụ lục A

(quy định)

Sơ đồ chung của phân tích phương sai

Thứ tự	Bài toán	Phương pháp	Cách giải quyết
A.1	Biểu diễn các số liệu để xử lý bằng các phương pháp phân tích phương sai (PTPS)	Viết các mẫu dưới dạng Bảng 1 hay Bảng 3	Nếu PTPS một nhân tố chuyển sang A.2, hai nhân tố chuyển sang A.4
A.2	Mô hình một nhân tố
A.2.1	Kiểm nghiệm tính chuẩn của phân bố của các số liệu	Dùng các quy tắc thống kê hay dùng đồ thị	Nếu phân bố là chuẩn chuyển sang A.3, nếu không chuyển sang A.5
A.3	PTPS tham số
A.3.1	Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai	Quy tắc Bartlett Xem 3.1.2.1.1 nếu k > 2 hoặc xem 3.1.2.1.2 nếu k = 2	Nếu các phương sai là bằng nhau thì chuyển sang A.3.2, nếu không thì chuyển sang A.3.3
A.3.2	Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các trung bình	Dùng quy tắc Welch (3.1.2.2) cho trường hợp các phương sai bằng nhau	a) Nếu chấp nhận giả thuyết, các giá trị trung bình là như nhau với mọi tổng thể, kết thúc PTPS b) Nếu bác bỏ giả thuyết, chuyển sang A.3.4.1
A.3.3	Giống 3.2	Quy tắc trong 3.1.2.2.2 để kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai	a) Giống như A.3.2 a) kết thúc PTPS b) Nếu bác bỏ giả thuyết chuyển sang A.3.4.2
A.3.4	So sánh đồng thời
A.3.4.1	Các phương sai bằng nhau	Quy tắc Student – Newman – Keuls (3.3.1)	Tách ra những nhóm tổng thể không khác nhau về giá trị trung bình, kết thúc PTPS
A.3.4.2	Các phương sai không bằng nhau	Quy tắc Dunnett	Giống như A.3.4.1 và kết thúc PTPS
A.4	Mô hình 2 nhân tố
A.4.1	Kiểm tra sự bằng nhau của số quan sát trong các mẫu		a) Nếu bằng nhau, chuyển sang A.4.2 b) Nếu không bằng nhau, phát biểu lại bài toán theo từ ngữ của phương pháp PTPS một nhân tố rồi chuyển sang A.2
A.4.2	Kiểm tra tính chuẩn của số liệu	Giống A.2.1	a) Nếu được thực hiện, chuyển sang A.4.3 b) Nếu không, phát biểu bài toán theo phương pháp PTPS một nhân tố và chuyển sang A.5
A.4.3	Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai	Quy tắc Bartlett (3.1.2.1.1)	a) Nếu thực hiện, chuyển sang A.4.4 b) Nếu không, phát biểu bài toán thành mô hình một nhân tố, rồi chuyển sang A.3.3
A.4.4	Kiểm nghiệm giả thuyết về sự tương tác giữa hai nhân tố	Quy tắc trong 3.2.4.2	a) Nếu giả thuyết được xác nhận, phát biểu thành mô hình một nhân tố rồi chuyển sang A.3.4 b) Ngược lại, kết luận giống A.3.2, phát biểu thành hai mô hình PTPS một nhân tố và chuyển sang A.4.5
A.4.5	Kiểm nghiệm giả thuyết về ảnh hưởng của các mức của từng nhân tố đến đại lượng cần nghiên cứu	Dùng các quy tắc trong 3.2.4.3 và 3.2.4.4	a) Nếu giả thuyết được xác nhận, chuyển sang A.3.4.1 b) Ngược lại, kết luận là các tổng thể không khác nhau một cách có ý nghĩa, kết thúc PTPS
A.5	PTPS phi tham số (chỉ xét mô hình một nhân tố)
A.5.1	Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai	Quy tắc Brown – Forsythe (4.2.3.1)	a) Nếu các phương sai bằng nhau, chuyển sang A.5.2 b) Nếu không, không xử lý nữa, kết thúc PTPS
A.5.2	Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các trung bình của đại lượng nghiên cứu	Quy tắc Kruskal – Wallis (4.2.3.2)	a) Giống như A.3.2 a), kết thúc PTPS b) Nếu giả thuyết không đúng, chuyển sang A.5.3
A.5.3	So sánh đồng thời	Phương pháp Kruskal – Wallis để so sánh đồng thời và cách xấp xỉ nó (xem 4.3.1 và 4.3.2)	Giống như A.3.4.1 và kết thúc PTPS

Phụ lục B

(tham khảo)

Các ví dụ

B.1 Ví dụ 1 (Minh họa 3.1.2.1)

Để thử độ biến dạng của vật liệu tổng hợp do 3 nơi sản xuất, ở mỗi nơi người ta lấy một mẫu ngẫu nhiên và đo lực tới hạn biến dạng. Các kết quả đo được cho trong Bảng B.1. Với giả thuyết các lực tới hạn biến dạng có phân bố chuẩn, hãy kiểm nghiệm có sự sai khác có ý nghĩa giữa 3 nơi sản xuất theo chỉ tiêu trên hay không.

Bảng B.1 – Lực tới hạn biến dạng tính bằng 10⁵ N/m²

Mẫu 1	Mẫu 2	Mẫu 3
10,2	12,2	9,2
8,2	10,6	10,5
8,9	9,9	9,2
8,0	13,0	8,7
8,3	8,1	9,0
8,0	10,8
	11,5
Tổng 51,6	76,1	46,6

Trước hết, dùng quy tắc Bartlett để kiểm nghiệm các số liệu trong Bảng B.1 có thỏa mãn giả thuyết về sự bằng nhau của phương sai hay không? Lấy mức ý nghĩa a = 0,05.

Từ Bảng B.1, tính tổng và các giá trị trung bình:

; n₁ = 6;

; n₂ = 7;

; n₃ = 5;

Tính các phương sai mẫu:

Sau đó tính:

Vì nên không đủ cơ sở để bác bỏ giả thuyết các phương sai là bằng nhau.

B.2 Ví dụ 2 (Minh họa 3.1.2.1)

Để so sánh độ bền của các ống dẫn nước do 3 hãng sản xuất, ở mỗi hạng chọn ngẫu nhiên một số ống và đo áp suất tới hạn đủ làm gãy ống. Các giá trị được cho trong Bảng B.2 và giả thuyết là chúng có phân bố chuẩn.

Vấn đề đặt ra là giữa các sản phẩm của 3 hãng có sự khác biệt đáng kể hay không.

Bảng B.2 – Áp suất tới hạn

Mẫu 1	Mẫu 2	Mẫu 3
6,993 620	13,029 93	21,362 76
6,998 000	14,028 77	23,899 47
6,922 900	13,671 90	27,936 14
6,972 105	15,406 15	27,311 53
7,002 345	17,306 43	23,908 01
6,652 691	18,316 31	27,157 76
7,025 300	15,406 15	18,789 11
7,068 393	14,916 13	24,689 78
7,029 745	13,671 90	18,681 27
7,045 260	15,406 15	21,044 89
Tổng
69,685	151,159 82	244,780 72

Từ Bảng B.2, trước hết ta tính tổng và các giá trị trung bình:

; n₁ = 10;

; n₂ = 10;

; n₃ = 10;

Dùng công thức sau để tính các phương sai mẫu:

ta được = 0,033 7; = 2,781 9; = 22,658 9.

Sau đó, tính c² = 56,000 5.

Với a = 0,05, ta có:

Điều này chứng tỏ các phương sai là không bằng nhau. Vì vậy cần ứng dụng phương pháp phân tích phương sai trong trường hợp các phương sai là không bằng nhau.

B.3 Ví dụ 3 (Minh họa 3.1.2.2.2)

Ứng dụng phương pháp phân tích phương sai một nhân tố với các số liệu ở Bảng B.2 (các phương sai không bằng nhau).

Mức ý nghĩa a = 0,05.

Dùng một số kết quả đã tính trong ví dụ 2:

n₁ = n₂ = n₃ = 10

Đặt , ta có:

W₁ = 296,735 9, W₂ = 3,594 7, W₃ = 0,441 3

Do đó:

Theo công thức:

tính được = 175,084 85. Hơn nữa:

tức là: [¦] = 11.

Với a = 0,05, n₁ = k – 1 = 2, n₂ = [¦] – 1 = 10, ta có F₀_,₉₅ (2,10) = 9,43.

Vì W = 175,084 85 > 9,43 suy ra các trung bình khác nhau một cách có ý nghĩa tức là giả thuyết H₀ bị bác bỏ.

Để tách ra những nhóm thuần nhất về giá trị trung bình cần ứng dụng quy tắc Dunnett (xem 3.3.2).

Với a = 0,05, k = 3, n_i = 10, (i = 1, 2, 3) nhờ Bảng 6 ta tìm phân vị R (0,05; 3; 9) = 3,95 và nhờ công thức (44) ta tính:

Theo công thức (45) ta tính được giới hạn của các khoảng tin cậy sau:

Từ đó suy ra mọi cặp các trung bình đều khác nhau.

B.4 Ví dụ 4 (Minh họa 3.1.2.2)

Một người sản xuất quan tâm đến giới hạn bền của loại sợi tổng hợp dùng để dệt vải may áo sơ mi nam. Giới hạn bền phụ thuộc vào tỷ lệ % bông trong sợi với 5 mức sau:

15 %, 20 %, 25 %, 30 % và 35 %.

Với mỗi mức, tiến hành 5 quan sát và ta có tất cả quan sát xếp theo một thứ tự ngẫu nhiên.

Bảng B.3 cho độ bền khi kéo sợi tổng hợp.

Cho a = 0,01, n₁ = 4, n₂ = 20, tra được F₀_,99 (4,20) = 4,43

Vì F = 14,76 > F₀_,₉₉ (4,20) = 4,43 nên bác bỏ giả thuyết H₀: m₁ = m₂= m₃ = m₄= m₅

tức là tỷ lệ phần trăm của bông có ảnh hưởng rõ đến giới hạn bền của vải. Ta cần chuyển sang so sánh đồng thời các trung bình (ví dụ 5).

B.5 Ví dụ 5 (Minh họa 3.3.1)

Ứng dụng phương pháp so sánh đồng thời đối với các số liệu của ví dụ 4.

Ta có:

MS_dư = 8,06; n = 5; n₄ = N – k = 25 – 5 = 20.

Xếp các trung bình theo thứ tự tăng, ta có:

; ; ; ;

Đánh số lại các tổng thể theo thứ tự sau:

1 ® (1), 5 ® (2), 2 ® (3), 3 ® (4), 4 ® (5)

Tính

Từ Bảng 6 với n₄ = 20, n₃ = 2, 3, 4, 5 và a = 0,05 tra được các giá trị tới hạn:

R (0,05; 2,20) = 3,49

R (0,05; 3,20) = 3,10

R (0,05; 4,20) = 2,87

R (0,05; 5,20) = 2,71

Tính các thống kê và so sánh chúng với các giá trị tới hạn tương ứng.

SR (5,2) = 8,5 > 2,87

SR (5,3) = 4,88 > 3,10

SR (5,4) = 3,14 > 3,49

SR (4,1) = 6,14 > 2,87

SR (4,2) = 5,35 > 3,10

SR (4,3)= 1,73 > 3,49

SR (3,1) = 4,41 > 3,10

SR (2,1) = 0,78 > 3,49

Do đó, các mẫu có các chỉ số (5) và (4), (3) và (4), (1) và (2) là những nhóm không khác nhau. Từ đó có thể kết luận giới hạn bền khi kéo sợi tổng hợp với tỷ lệ bông 15 % và 35 % là như nhau, tương tự cho các nhóm có tỷ lệ 20 % và 25 % và các nhóm 25 % và 30 %.

Các nhóm 30 % và 20 % nếu xét riêng không khác nhóm 25 %, nhưng chúng lại khác nhau, tức là xảy ra trường hợp các nhóm giao nhau.

Tóm lại, ta có thể chia các mức thành 3 nhóm không giao nhau như sau: 35 % và 15 %, 20 %, 25 % và 30 %.

B.6 Ví dụ 6 (Minh họa 3.2.4.2)

Phân tích phương sai hai nhân tố

Giả sử vật liệu của bản cực và nhiệt độ dung dịch có ảnh hưởng đến cường độ dòng điện của ắcquy.

Giả sử có 3 loại vật liệu và 3 chế độ nhiệt độ. Một số vấn đề được đặt ra như sau:

Loại vật liệu có ảnh hưởng đến cường độ?

Chế độ nhiệt độ có ảnh hưởng đến cường độ?

Bảng B.3

	A₁ = 15 %	A₂ = 20 %	A₃ = 25 %	A₄ = 30 %	A₅ = 35 %
1	7	12	14	19	7
2	7	17	18	25	10
3	15	12	18	22	11
4	11	18	19	19	15
5	9	18	19	23	11
y_i	49	77	88	108	54
	9,8	15,4	17,6	21,6	10,8

Ta có: y.. = 376

SS_dư =

Kiểm tra:

SS_dư = SS – SS_A = 639,96 – 475,76 = 164,20

Bảng B.4

Nguồn biến động	Tổng bình phương	Bậc tự do	Trung bình bình phương	Tỷ số F
A	475,76	4	118,94	14,76
Sai số đo	164,20	20	8,06	–
Chung	639,96	24	–	–

Giữa vật liệu và nhiệt độ có sự tương tác hay không?

Thứ tự tiến hành 36 quan sát là ngẫu nhiên.

Bảng B.5 đưa ra các giá trị của cường độ.

Bảng B.5

Loại vật liệu	Nhiệt độ, °C								*Y_i…*
Loại vật liệu	10		18			26			*Y_i…*
1	130	155	34	40		20	70
	74	180	80	75		82	58
		539			229			230	998
2	150	188	136	122		25	70
	159	126	106	115		58	45
		623			479			198	1 300
3	138	110	174	120		96	104
	168	160	150	139		82	60
		576			573			342	1 501
y_.j_.		1 738			1 291			770	y… = 3 799

Tính:

SS_dư =

SS_AxB = SS_C – SS_A – SS_B – SS_dư = 9 613,77

Các kết quả tính toán được lập thành Bảng B.6

Bảng B.6

Nguồn biến động	Tổng bình phương	Bậc tự do	Trung bình bình phương	Tỷ số F
A (kiểu vật liệu)	10 683,72	2	5 341,66	7,91
B (nhiệt độ)	39 118,72	2	19 558,36	28,97
A x B (tương tác)	9 613,77	4	2 403,44	3,56
Sai số	18 230,50	27	675,21	–
Tổng chung	77 646,96	35	–	–

Kiểm nghiệm:

H_0,A_x_B : (ab)_ij = 0 với i = 1, …, k; j = 1, …, m

Với a = 0,05, n₁ = 4, n₂ = 27, tra bảng ta có F_0,95 (4, 27) = 2,73.

Vì F_Ax_B = 3,56 > F_0,₉₅ (4, 27) = 2,73 nên có thể kết luận sự tương tác giữa vật liệu và nhiệt độ là có ý nghĩa.

Với mọi k x m các trung bình, ta có thể thực hiện việc so sánh đồng thời (3.3).

B.7 Ví dụ 7 (Minh họa 4.2.3)

Phân tích phương sai phi tham số

Bảng B.7 cho các số liệu để đánh giá mức độ hiệu quả để bảo vệ niêm mạc trong mũi ở những người khỏe, người mắc bệnh cấp tính về hô hấp, người mắc bệnh nghề nghiệp về hô hấp. Các số liệu trong bảng biểu diễn thời gian để niêm mạc trong mũi có thể giải phóng một nửa số bụi rơi vào. Các số liệu không tuân theo phân bố chuẩn.

Ta cần xác định xem có sự sai khác có ý nghĩa giữa nhóm bệnh nhân về thời gian cho trong Bảng B.7.

Đầu tiên dùng quy tắc Brown – Forsythe để kiểm tra sự bằng nhau của phương sai (xem 4.2.3.1).

Ở đây: k = 3, n₁ = 5, n₂ = 4, n₃ = 5.

Bảng B.7

2,9	3,8	2,8
3,0	2,7	3,4
2,5	4,0	3,7
2,6	2,4	2,2
3,2		2,0

1) Tính trung vị:

; ;

2) Tính

Các Z_i_j

0	0,55	0
0,1	0,55	0,6
0,4	0,76	0,9
0,3	0,85	0,6
0,3		0,8

3) Tính

Với a₃ = 0,05 và các bậc tự do

n₁ = k – 1 = 2; n₂=

tra bảng F ta được F₀_,₉₅ (2, 11) = 3,98.

Vì = 1,31 < F₀_,₉₅ (2, 11) = 3,98 nên ta kết luận rằng các phương sai là bằng nhau và có thể dùng phép phân tích phương sai một nhân tố Kruskal – Wallis (xem 4.2.3.2).

Sắp xếp thứ tự các số liệu của Bảng B.7 và thay đổi giá trị của bảng bằng hạng của nó, ta được bảng sau:

(8)	(13)	(7)
(9)	(6)	(11)
(4)	(14)	(12)
(5)	(3)	(2)
(10)		(1)
R₁ = 36	R₂ = 36	R₃ = 33

Theo công thức (54) ta được:

Với mức ý nghĩa a = 0,1 và với n₁ = 5, n₂ = 4, n₃ = 5 tra bảng ta có:

h_0,1;₃ (4, 5, 5) = 4,52

Vì h = 0,771 < 4,52 suy ra sự sai khác giữa nhóm người về hiệu quả bảo vệ là không có ý nghĩa.

MỤC LỤC

Lời nói đầu

1. Phạm vi áp dụng

2. Khái niệm chung

3. Phương pháp phân tích phương sai tham số

3.1. Phân tích phương sai một nhân tố

3.2. Phân tích phương sai hai nhân tố

3.3. So sánh đồng thời

4. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số

4.1. Phạm vi ứng dụng

4.2. Mô hình một nhân tố

4.3. So sánh đồng thời

Phụ lục A (quy định) Sơ đồ chung của phân tích phương sai

Phụ lục B (tham khảo) Các ví dụ

TIÊU CHUẨN QUỐC GIA TCVN 4551:2009 VỀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI
Số, ký hiệu văn bản	TCVN4551:2009	Ngày hiệu lực
Loại văn bản	Tiêu chuẩn Việt Nam	Ngày đăng công báo
Lĩnh vực	Lĩnh vực khác	Ngày ban hành
Cơ quan ban hành		Tình trạng	Còn hiệu lực

Các văn bản liên kết

Văn bản được hướng dẫn		Văn bản hướng dẫn
Văn bản được hợp nhất		Văn bản hợp nhất
Văn bản bị sửa đổi, bổ sung		Văn bản sửa đổi, bổ sung
Văn bản bị đính chính		Văn bản đính chính
Văn bản bị thay thế		Văn bản thay thế
Văn bản được dẫn chiếu		Văn bản căn cứ

Tải văn bản

Tải văn bản về Bản PDF/Bản gốc